Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 21

Pembahasan soal Matematika IPA Ujian Nasional 2015 nomor 21 sampai dengan nomor 25 tentang:

grafik fungsi logaritma,
barisan dan deret aritmetika,
deret geometri tak hingga,
dimensi tiga (jarak titik ke garis), serta
dimensi tiga (sudut antarbidang).

Soal No. 21 tentang Grafik Fungsi Logaritma

Persamaan grafik fungsi berikut ini adalah ....

Grafik fungsi eksponen dan logaritma

A.   y = ³log x
B.   y = ^3xlog 3 − x
C.   y = ³log (1/x)
D. y = ^3xlog 3 − 1
E. y = ^3/xlog (1/3) − 1

Pembahasan

Berdasarkan grafik tersebut diperoleh data:

x	1	3
y	0	1

Artinya, untuk x = 1 dihasilkan y = 0 dan untuk x = 3 dihasilkan y = 1.

Cara sederhana untuk mendapatkan nilai tersebut adalah trial and error, yaitu diujicobakan pada setiap opsi jawaban.

Opsi A: y = ³log x
x = 1 → y = ³log 1 = 0 (benar)
x = 3 → y = ³log 3 = 1 (benar)

Bisa dipastikan opsi yang lain salah.

Jadi, persamaan grafik fungsi tersebut adalah y = ³log x (A).

Soal No. 22 tentang Barisan dan Deret Aritmetika

Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 2 dan −13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ....

A. −580
B. −490
C. −440
D. −410
E. −380

Pembahasan

Barisan aritmetika dengan suku ke-3 = 2 dan suku ke-8 = −13.

U₃ = a + 2b = 2       ..... (1)
U₈ = a + 7b = −13   ..... (2)
       —————— −
   −5b = 15
                 b = −3

Substitusi b = −3 ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.

a + 2b = 2
a − 6 = 2
        a = 8

Jumlah 20 suku pertama.

S_n = ½n[2a + (n − 1)b]
S₂₀ = 10[16 + 19.(−3)]
= 10 . (−41)
= −410

Jadi, jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah −410 (D).

Soal No. 23 tentang Deret Geometri Tak Hingga

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter. Setiap memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 dari tinggi sebelumnya. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah ....

A. 36 meter
B. 38 meter
C. 45 meter
D. 47 meter
E. 51 meter

Pembahasan

Perhatikan ilustrasi berikut ini!

Aplikasi deret geometri tak hingga, panjang lintasan bola sampai berhenti

Lintasan bola dalam kotak bergaris merah terdiri dari 2 jenis lintasan, yaitu lintasan naik dan lintasan turun . Kedua jenis lintasan tersebut panjangnya sama dan membentuk deret geometri tak hingga dengan suku awal t₂ dan rasio ⅔.

a = t₂
   = ⅔ t₁
   = ⅔ × 9
   = 6

Dengan demikian, panjang seluruh lintasan (L) adalah panjang t₁ ditambah 2 kali jumlah deret tak hingga.

L = t₁ + 2 S_∞
   $Rumus panjang seluruh lintasan bola jatuh$
   $=9+2\, \frac{6}{1-\frac{2}{3}}$
   = 9 + 36
   = 45

Jadi, panjang lintasan bola sampai berhenti adalah 45 meter (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Barisan dan Deret.

Soal No. 24 tentang Dimensi Tiga (Jarak Titik ke Garis)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan ....

A.   ⅘√30 cm
B.   ⅔√30 cm
C.   2√5 cm
D.   2√3 cm
E.   2√2 cm

Pembahasan

Perhatikan gambar kubus yang dimaksud berikut ini!

Jarak titik E ke garis CM pada kubus ABCD.EFGH

Panjang EM = MC.

$EM=\sqrt{AM^{2}+AE^{2}}$
         $=\sqrt{2^{2}+4^{2}}$
         = 2√5

Panjang EC merupakan diagonal ruang.

EC = a√3
      = 4√3

QM adalah tinggi segitiga EMC dengan alas EC.

$QM=\sqrt{EM^{2}-EQ^{2}}$
         $=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}$
         = 2√2

Nah, mari kita perhatikan segitiga EMC dengan tinggi QM dan alas EC. Luas segitiga tersebut adalah

L = ½ . EC . QM
   = ½ . 4√3 . 2√2
   = 4√6

Sekarang mari kita perhatikan lagi segitiga EMC. Kali ini dengan alas MC dan tinggi EP (yang ditanyakan).

    L = ½ . MC . EP
4√6 = ½ . 2√5 . EP
EP = 4√(6/5)
    = ⅘√30

Jadi, Jarak titik E ke garis CM adalah ⅘√30 cm (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Jarak Titik, Garis, dan Bidang [Dimensi Tiga].

Soal No. 25 tentang Dimensi Tiga (Sudut antarbidang)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Tangen sudut antara bidang DEG dengan bidang BEG adalah ....

A. ⅓
B. ⅓√3
C. ½√3
D. ⅔√2
E. 2√2

Pembahasan

Perhatikan gambar kubus yang dimaksud berikut ini!

Tangen sudut antara bidang DEG dan BEG pada kubus ABCD.EFGH

Bidang DEG dan BEG bertemu pada garis EG. Dari pertengahan garis EG ditarik garis ke B dan G sehingga terbentuk segitiga BDP. Sudut P pada segitiga BDP merupakan sudut yang dibentuk oleh bidang DEG dan BEG.

Panjang BP = DP.

$BP=\sqrt{BF^{2}+FP^{2}}$
        $=\sqrt{8^{2}+(4\sqrt{2})^{2}}$
        = 4√6

Panjang BD merupakan diagonal bidang.

BD = a√2
      = 8√2

Untuk menentukan sudut α, kita gunakan aturan kosinus segitiga. Perhatikan segitiga BDP.

$Rumus aturan kosinus segitiga$
          $=\frac{(4\sqrt{6})^{2}+(4\sqrt{6})^{2}-(8\sqrt{2})^{2}}{2\, \cdot \, 4\sqrt{6}\, \cdot \, 4\sqrt{6}}$
          $=\frac{96+96-128}{192}=\frac{64}{192}=\frac{1}{3}$

Untuk mendapatkan nilai tan α dari cos α, kita gunakan perbandingan segitiga berikut ini.

Perbandingan segitiga untuk mendapatkan nilai tangen sudut

Jadi, nilai tangen sudut antara bidang DEG dan BEG adalah 2√2 (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang [Dimensi Tiga].

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2015 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Tuesday 12 January 2016