Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 26 - 30

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2016 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 26 sampai dengan nomor 30 tentang:

• limit fungsi aljabar, 
• limit fungsi trigonometri, 
• turunan fungsi trigonometri, 
• aplikasi turunan, serta 
• titik stasioner dan nilai ekstrem.

Soal No. 26 tentang Limit Fungsi Aljabar

Nilai dari

adalah ....

A.   −6
B.   −4
C.   −1
D.   4
E.   6

Pembahasan

Bentuk umum dari limit tersebut adalah:

Limit fungsi pada soal di atas harus diupayakan agar mempunyai bentuk yang sama dengan bentuk umum. Caranya dengan mengubah (2x − 5) menjadi bentuk akar.

Dengan demikian bentuk limit fungsi tersebut menjadi:

Berdasarkan bentuk umum ini diperoleh:

a = 4
b = 4
c = −3
d = −20
e = 25

Sehingga hasil dari limit tersebut adalah:

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut adalah 6 (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi.

Soal No. 27 tentang Limit Fungsi Trigonometri

Nilai dari

adalah ....

A.   1/8
B.   1/4
C.   1/2
D.   1
E.   2

Pembahasan

Prinsip utama menyelesaikan limit fungsi trigonometri adalah menerapkan bahwa:

sin x = tan x = x

Dengan prinsip tersebut, bentuk kosinus harus diubah menjadi bentuk sinus. Perhatikan rumus cos 2x berikut ini.

cos 2x = 1 − 2 sin² x

Analogi bentuk tersebut diperoleh:

cos x = 1 − 2 sin² ½x

Sehingga diperoleh:

1 − cos x = 2 sin² ½x

Dengan demikian, limit fungsi trigonometri di atas dapat diubah menjadi:

Sekarang bentuknya sudah dalam sinus dan tangens. Kita tinggal menggantinya dengan x saja.

sin² ½x = (½x)²
tan² 2x = (2x)²

Sehingga diperoleh:

Jadi, nilai dari limit fungsi trigonometri tersebut adalah 1/8 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi.

Soal No. 28 tentang Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan pertama dari fungsi f(x) = cos⁵ (π − 2x) adalah ...

A.   f'(x) = 5 cos³ (π − 2x) sin (2π − 4x)
B.   f'(x) = 5 cos³ (π − 2x) sin (π − 2x)
C.   f'(x) = 5 cos³ (π − 2x) cos (2π − 4x)
D.   f'(x) = −5 cos³ (π − 2x) sin (2π − 4x)
E.   f'(x) = −5 cos³ (π − 2x) sin (π − 2x)

Pembahasan

Soal di atas adalah turunan berantai. Hal ini karena di dalam fungsi f(x) terdapat 3 fungsi, yaitu fungsi (π − 2x), fungsi kosinus, dan fungsi pangkat 5.

Ketiga fungsi tersebut harus diturunkan satu per satu kemudian dirangkai jadi satu.

turunan (π − 2x)   = −2
turunan kosinus     = −sin (π − 2x)
turunan pangkat 5 = 5 cos⁴ (π − 2x)

Sehingga turunan fungsi f(x) adalah:

f'(x) = −2 [−sin (π − 2x)] 5 cos⁴ (π − 2x)
       = 2 sin (π − 2x) . 5 cos⁴ (π − 2x)

Ternyata pada opsi jawaban tidak ada fungsi kosinus pangkat 4. Rupanya kita diarahkan untuk memecah fungsi kosinus pangkat 4 menjadi pangkat 3 dan pangkat 1. Kemudian fungsi kosinus yang pangkat satu dipadukan dengan fungsi sinus sesuai dengan rumus:

2 sin A cos A = sin 2A

Dengan demikian, turunan fungsi f(x) tersebut dapat dilanjutkan menjadi:

f'(x) = 2 sin (π − 2x) . 5 cos³ (π − 2x) cos (π − 2x)
        = 5 cos³ (π − 2x) . 2 sin (π − 2x) cos (π − 2x)
        = 5 cos³ (π − 2x) sin 2(π − 2x)
        = 5 cos³ (π − 2x) sin (2π − 4x)

Jadi, turunan pertama dari fungsi trigonometri tersebut adalah opsi (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Turunan Fungsi.

Soal No. 29 tentang Aplikasi Turunan Fungsi

Persamaan garis singgung kurva y = 2x² − 3x + 5 melalui titik berabsis 2 pada kurva tersebut adalah ....

A.   y = 5x + 5
B.   y = 5x − 3
C.   y = 5x − 17
D.   y = 4x + 3
E.   y = 4x − 3

Pembahasan

Persamaan umum garis singgung adalah:

y − y₁ = m(x − x₁)

dengan x₁ dan y₁ berturut-turut adalah absis dan ordinat titik singgung. Pada soal diketahui absis x₁ = 2. Ordinatnya dapat dicari dengan substitusi absis pada kurva y.

 y = 2x² − 3x + 5
y₁ = 2×2² − 3×2 + 5
    = 8 − 6 + 5
    = 7

Sedangkan m adalah gradien garis singgung. Gradien garis singgung merupakan turunan fungsi y. Nilai m dapat ditentukan dengan substitusi absis x = 2.

 y = 2x² − 3x + 5
m = y'
    = 4x − 3
    = 4×2 − 3
    = 8 − 3
    = 5

Dengan demikian, persamaan garis singgung kurva y adalah:

y − y₁ = m(x − x₁)
 y − 7 = 5(x − 2)
 y − 7 = 5x − 10
       y = 5x − 3

Jadi, persamaan garis singgung kurva tersebut adalah y = 5x − 3 (B).

Soal No. 30 tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem

Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar.

Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?

A.   80.000 m².
B.   40.000 m².
C.   20.000 m².
D.   5.000 m².
E.   2.500 m².

Pembahasan

Kawat berduri 800 meter digunakan sebagai pagar. Sesuai gambar, pagar kawat tersebut terdiri dari 4 lapis. Sehingga keliling pagar tersebut adalah:

K = 800 m : 4
    = 200 m

Sekarang perhatikan gambar berikut ini!

Area tanah yang dipagar hanya 3 sisi, yaitu panjang dan 2 kali lebar tanah. Sehingga keliling pagar tersebut adalah:

   K = p + 2l
200 = p + 2l
    p = 200 − 2l    .... (1)

Sementara itu, luas tanah yang dipagar adalah:

L = p . l

Substitusi persamaan (1) ke luas tanah diperoleh:

L = (200 − 2l) . l
   = 200l − 2l²

Luas tanah akan maksimum saat L' = 0.

          L' = 0
200 − 4l = 0
          4l = 200
            l = 50

Substitusi l = 50 ke persamaan (1) diperoleh:

p = 200 − 2l
   = 200 − 2×50
   = 100

Dengan demikian, luas maksimum tercapai jika p = 100 m dan l = 50 m.

L = p . l
   = 100 × 50
   = 5.000

Jadi, luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia adalah 5.000 m² (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2016 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.