Untuk menyelesaikan soal-soal persamaan trigonometri, modal yang harus diingat kembali adalah hafalan sudut-sudut istimewa dan pemahaman kuadran.
Sudut-sudut Istimewa
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
| sinus | 0 | ½ | ½√2 | ½√3 | 1 |
| kosinus | 1 | ½√3 | ½√2 | ½ | 0 |
Sudut di berbagai Kuadran
| Kuadran | I | II | III | IV |
| sudut | α | 180°−α | 180°+α | 360°−α |
| sinus | + | + | − | − |
| kosinus | + | − | − | + |
Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2014
Nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos(2x − 60) = √3 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….
A. 20°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
E. 90°
A. 20°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
E. 90°
Pembahasan
Langkah pertama, kita pindah konstanta 2 ke ruas kanan.2 cos(2x − 60) = √3
cos(2x − 60) = ½√3
Pada interval 0° ≤ x ≤ 180° atau kuadran I dan II, kita cukup memanfaatkan sudut-susut istimewa.
cos(2x − 60°) = cos 30°
2x − 60° = 30°
2x = 90°
x = 45°
Jadi, nilai x dari persamaan trigonometri tersebut adalah 45° (C).
Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2011
Himpunan penyelesaian persamaan
cos 2x + cos x = 0, 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….
A. {45°, 120°}
B. {45°, 135°}
C. {60°, 135°}
D. {60°, 120°}
E. {60°, 180°}
cos 2x + cos x = 0, 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….
A. {45°, 120°}
B. {45°, 135°}
C. {60°, 135°}
D. {60°, 120°}
E. {60°, 180°}
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal di atas kita harus mengingat kembali rumus cos 2x.I. cos 2x = 2 cos2x − 1
II. cos 2x = 1 − 2 sin2x
Karena suku kedua pada soal di atas berbentuk kosinus maka cos 2x harus diubah seperti rumus I.
cos 2x + cos x = 0
2 cos2x − 1 + cos x = 0
2 cos2x + cos x − 1 = 0
(2 cos x − 1)(cos x + 1) = 0
cos x = ½ atau cos x = −1
x = 60° x = 180°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah {60°, 180°} (E).
Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2015
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x − 3 cos x + 2 = 0 pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah ….
A. {0°, 60°, 120°}
B. {60°, 120°, 180°}
C. {60°, 180°, 360°}
D. {0°, 60°, 120°, 180°}
E. {0°, 60°, 300°, 360°}
A. {0°, 60°, 120°}
B. {60°, 120°, 180°}
C. {60°, 180°, 360°}
D. {0°, 60°, 120°, 180°}
E. {0°, 60°, 300°, 360°}
Pembahasan
Soal ini mirip dengan soal sebelumnya. Yang perlu diperhatikan adalah interval 0° ≤ x ≤ 360°. Interval ini meliputi semua kuadran.cos 2x − 3 cos x + 2 = 0
2 cos2x − 1 − 3 cos x + 2 = 0
2 cos2x − 3 cos x + 1 = 0
(2 cos x − 1)(cos x − 1) = 0
cos x = ½ atau cos x = 1
Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.
cos x = ½
cos x = cos 60°
K. I : x = 60°
K. IV : x = 360° − 60°
= 300°
cos x = 1
cos x = cos 0°
K.I : x = 0°
K.IV : x = 360° − 0°
= 360°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°} (E).
Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2013
Nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x − sin x = 0 untuk 0° < x < 360° adalah ....
A. {30°, 150°}
B. {30°, 270°}
C. {30°, 150°, 180°}
D. {60°, 120°, 300°}
E. {30°, 150°, 270°}
A. {30°, 150°}
B. {30°, 270°}
C. {30°, 150°, 180°}
D. {60°, 120°, 300°}
E. {30°, 150°, 270°}
Pembahasan
Soal ini agak sedikit berbeda dengan soal sebelumnya. Suku keduanya berbentuk sinus. Sehingga cos 2x harus diubah seperti rumus II.cos 2x − sin x = 0
1 − 2 sin2x − sin x = 0
−2 sin2x sin x + 1 = 0
2 sin2x + sin x − 1 = 0
(2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0
sin x = ½ atau sin x = −1
Nilai sinus positif terjadi di kuadran I dan II.
sin x = ½
sin x = sin 30°
K. I : x = 30°
K. II : x = 180° − 30°
= 150°
Sedangkan nilai sinus negatif di kuadran III dan IV.
sin x = −1
sin x = −sin 90°
K.III : x = 180° + 90°
= 270°
K.IV : x = 360° − 90°
= 270°
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri di atas adalah {30°, 150°, 270°} (E).
Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2012
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….
A. {120°, 105°}
B. {105°, 165°}
C. {30°, 105°}
D. {30°, 165°}
E. {15°, 105°}
A. {120°, 105°}
B. {105°, 165°}
C. {30°, 105°}
D. {30°, 165°}
E. {15°, 105°}
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal di atas, perhatikan analogi rumus berikut ini!cos 2x = 1 − 2 sin2 1x
cos 4x = 1 − 2 sin2 2x
Berdasarkan analogi rumus tersebut diperoleh:
cos 4x + 3 sin 2x = −1
1 − 2 sin2 2x + 3 sin 2x = −1
−2 sin2 2x + 3 sin 2x + 2 = 0
2 sin2 2x − 3 sin 2x − 2 = 0
(2 sin 2x + 1)(sin 2x − 2) = 0
sin 2x = −½ atau sin x = 2 (TM)
TM artinya tidak memenuhi karena nilai maksimum dari sinus adalah 1.
Meskipun interval pada soal di atas adalah 0° ≤ x ≤180°, namun kita harus jeli. Sudut pada persamaan trigonometri di atas adalah 2x. Sehingga intervalnya sama dengan 0° ≤ 2x ≤360°.
Nilai sinus negatif terjadi di kuadran III dan IV.
sin 2x = −½
sin 2x = −sin 30°
K.III : 2x = 180° + 30°
= 210°
x = 105°
K.IV : 2x = 360° − 30°
= 330°
x = 165°
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah {105, 165°} (B).
Pembahasan soal tentang Persamaan Trigonometri yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 26
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 25
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 27
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 18
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 26
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 39
Simak juga,
Fungsi Trigonometri dan Grafiknya [Soal UN dan Pembahasan]
Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri
Pembahasan Matematika IPA UN: Aturan Sinus dan Kosinus
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
No comments:
Post a Comment
Maaf, komentar yang tidak berhubungan dengan konten, banyak mengandung singkatan kata, atau mengandung link aktif, tidak kami tayangkan.
Komentar Anda akan kami moderasi sebelum kami tayangkan. Centang 'Notify me' agar Anda mendapat pemberitahuan lewat email bahwa komentar Anda sudah ditayangkan