Pembahasan Matematika Dasar No. 51 - 55 TKPA SBMPTN 2017 Kode Naskah 226

Pembahasan soal Matematika Dasar Tes Kemampuan Potensi Akademik (TKPA) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2017 kode naskah 226 nomor 51 sampai dengan nomor 55 tentang:

• barisan dan deret aritmetika, 
• aplikasi turunan, 
• barisan dan deret geometri, 
• fungsi komposisi, dan 
• dimensi tiga.

Soal No. 51 tentang Barisan dan Deret Aritmetika

Suku ke-11 suatu barisan aritmetika sama dengan empat kali suku ke-16. Jika beda barisan tersebut adalah −3 maka empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke- ….

A.   1
B.   3
C.   5
D.   7
D.   9

Pembahasan

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika dinyatakan:

U_n = a + (n − 1)b

Suku ke-11 sama dengan empat kali suku ke-16.

      U₁₁ = 4U₁₆
a + 10b = 4(a + 15b)

Dengan b = −3 diperoleh:

a − 30 = 4(a − 45)
a − 30 = 4a − 180
    150 = 3a
        a = 50

Empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke-n.

         4U₁₄ = U_n
4(a + 13b) = a + (n − 1)b

Substitusi a = 50 dan b = −2 diperoleh:

4(50 − 39) = 50 + (n − 1)(−3)
        4 ∙ 11 = 50 − 3n + 3
             44 = −3n + 53
             3n = 9
               n = 3

Jadi, empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke-3 (B).

Soal No. 52 tentang Aplikasi Turunan

Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah (6 − 0,02x) kg, dengan x menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah … kg.

A.   400
B.   420
C.   435
D.   450
E.   465

Pembahasan

Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen:

6 − 0,02x

Total bobot semua ikan pada saat panen:

B(x) = (6 − 0,02x)x
        = 6x − 0,02x²

Agar nilai B(x) maksimum maka turunan pertama dari fungsi B(x) harus sama dengan nol.

       B(x)' = 0
6 − 0,04x = 0
             6 = 0,04x
             x = 150

Dengan demikian, fungsi B(x) mencapai maksimum pada saat x = 150.

    B(x) = 6x − 0,02x²
B(150) = 6 ∙ 150 − 0,02 ∙ 150²
            = 900 − 450
            = 450

Jadi, total bobot maksimum semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah 450 kg (D).

Soal No. 53 tentang Barisan dan Deret Geometri

Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama barisan geometri adalah 1/32. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 adalah 15 maka jumlah 3 suku pertama barisan tersebut adalah ….

A.   30
B.   40
C.   50
D.   60
E.   70

Pembahasan

Suku ke-n barisan geometri dinyatakan sebagai:

U_n = arⁿ⁻¹

Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama barisan geometri adalah 1/32.

Jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 adalah 15.

 U₃ + U₄ = 15
ar² + ar³ = 15

Substitusi r = 1/2 diperoleh:

Karena yang ditanyakan jumlah 3 suku pertama, lebih enak dihitung langsung (tanpa rumus S_n).

S₃ = a + ar + ar²
     = 40 + 20 + 10
     = 70

Jadi, jumlah 3 suku pertama barisan tersebut adalah 70 (B).

Soal No. 54 tentang Fungsi Komposisi

Jika f(x) = 1 − x² dan g(x) = √(5 − x) maka daerah hasil fungsi komposisi f ∘ g adalah ….

A.   {y│−∞ < y < ∞}
B.   {y│y ≤ −1 atau y ≥ 1}
C.   {y│y ≤ 5}
D.   {y│y ≤ 1}
E.   {y│−1 ≤ y ≤ 1}

Pembahasan

Daerah hasil atau range suatu fungsi adalah nilai fungsi tersebut (nilai y) untuk x yang memenuhi.

Untuk menentukan daerah hasil fungsi komposisi f ∘ g, kita harus menentukan dulu nilai x yang memenuhi pada fungsi f dan g sebelum dikomposisikan.

• Fungsi f(x) = 1 − x² memenuhi untuk semua nilai x.
• Fungsi g(x) = √(5 − x) memenuhi jika nilai yang terdapat dalam akar lebih besar atau sama dengan nol

5 − x ≥ 0
    −x ≥ −5
      x ≤ 5 … (1)
Ini adalah domain atau daerah asal fungsi g yang juga merupakan domain dari fungsi komposisi f ∘ g.

Selanjutnya kita tentukan fungsi komposisinya dengan berpatokan pada fungsi f.

 f(x) = 1 − x²
f ∘ g = 1 − [g(x)]²
        = 1 − [√(5 − x)]²
        = 1 − (5 − x)
        = 1 − 5 + x
        = x − 4

Misalkan daerah hasil fungsi komposisi tersebut adalah y, maka:

y = x − 4 … (2)

Nah, sekarang kita gantikan x pada persamaan (2) dengan x pada persamaan (1).

y ≤ 5 − 4
y ≤ 1

Jadi, daerah hasil fungsi komposisi f ∘ g adalah {y│y ≤ 1} (D).

Soal No. 55 tentang Dimensi Tiga

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P dan Q berturut-turut adalah titik tengah HG dan BC.

Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 4 cm maka jarak P ke Q adalah … cm.

A.   2√3
B.   2√6
C.   6√2
D.   6√3
E.   6√6

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut ini!

Lintasan terdekat dari titik P menuju Q adalah:

PG – GC – CQ [lintasan biru]

Dengan demikian, panjang PQ adalah:

PQ = √(PG² + GC² + CQ²)
      = √(2² + 4² + 2²)
      = √24
      = 2√6

Jadi, jarak titik P ke titik Q adalah 2√6 cm (B).

Pembahasan Matematika Dasar No. 46 - 50 TKPA SBMPTN 2017
Pembahasan Matematika Dasar No. 56 - 60 TKPA SBMPTN 2017

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.