Pembahasan Matematika IPA UN: Suku Banyak

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Suku Banyak (Polinomial).

Soal tentang Suku Banyak UN 2015

Salah satu faktor suku banyak x³ − kx² − x − 2 adalah (x + 2). Faktor yang lainnya adalah ….

A.   x − 2
B.   x + 2
C.   x − 4
D.   x + 1
E.   x + 4

Pembahasan

(x + 2) faktor dari f(x) berarti f(x) habis dibagi (x + 2). Kita gunakan cara skematik atau cara Horner untuk menyelesaikan soal ini.

Panah merah berarti dikalikan akarnya, yaitu −2.

Sekarang kita operasikan kolom terakhir untuk mendapatkan nilai k.

−2 − 4k − 6 = 0
             −4k = 8
                  k = −2

Selanjutnya kita substitusikan k = −2 ke hasil bagi (warna biru). 

   1     −k − 2     2k + 3
= 1       2 − 2     −4 + 3
= 1           0            −1

Sehingga hasil baginya adalah  x² − 1. Hasil bagi ini jika difaktorkan akan menghasilkan dua faktor yang juga merupakan faktor dari suku banyak f(x). 

x² − 1 = (x − 1)(x + 1)

(Ingat, a² − b² = (a − b)(a + b)

Jadi, faktor lain dari suku banyak tersebut adalah x − 1 atau x + 1 (D).

Soal tentang Suku Banyak UN 2011

Diketahui x − 2 dan x − 1 adalah faktor-faktor suku banyak P(x) = x³ + ax² − 13x + b. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah x₁, x₂, dan x₃, untuk x₁ > x₂ > x₃ maka nilai dari x₁ − x₂ − x₃ adalah ….

A.   8
B.   6
C.   3
D.   2
E.   −4

Pembahasan

Kita gunakan cara Horner dengan akar x = 1 dan x = 2.

Dari hasil cara Horner tersebut, kita operasikan kolom terakhir yang bawah untuk mendapatkan nilai a. 

a − 12 + 2a + 6 = 0
               3a − 6 = 0
                     3a = 6
                       a = 2

Selanjutnya kita substitusikan a = 2 ke hasil bagi yang terakhir (warna biru).

   1     a + 3
= 1     2 + 3
= 1        5

Sehingga hasil baginya adalah x + 5. Hasil bagi ini juga merupakan faktor dari suku banyak P(x). Secara keseluruhan, faktor dan akar suku banyak P(x) adalah:

• faktor : (x − 2), (x − 1), (x + 5)
• akar    : x₁ = 2, x₂ = 1, x₃ = −5

Dengan demikian: 

x₁ − x₂ − x₃ = 2 − 1 − (−5)
                     = 2 − 1 + 5
                     = 6

Jadi, nilai dari x₁ − x₂ − x₃ adalah 6 (B).

Soal tentang Suku Banyak UNAS 2010

Suku banyak 2x³ + 5x² + ax + b dibagi x + 1 sisanya 1 dan jika dibagi x − 2 sisanya 43. Nilai a + b = ….

A.   −4
B.   −2
C.   0
D.   2
E.   4

Pembahasan

Kita gunakan cara Horner dengan akar x = −1 dan x = 2. Namun karena pembagian tersebut mempunyai sisa, kita lakukan cara Horner sendiri-sendiri untuk setiap akar, tidak bisa langsung seperti soal sebelumnya.

Sekarang kita operasikan kolom terakhir untuk masing-masing pembagian tersebut (angka warna biru dan merah). 

b − a + 3 = 1
    −a + b = −2         ... (1) 

b + 2a + 36 = 43
        2a + b = 7        ... (2)

Substitusi persamaan (2) dan (1).

2a + b = 7
−a + b = −2

————— −
       3a = 9
         a = 3

Substitusi a = 3 ke persamaan (2). 

2a + b = 7
  6 + b = 7
        b = 1

Dengan demikian, 

a + b = 3 + 1
         = 4

Jadi, nilai dari a + b adalah 4 (E).

Soal tentang Suku Banyak UN 2012

Suku banyak berderajat 3 jika dibagi (x² + x − 2) bersisa (2x − 1) dan jika dibagi (x² + x − 3) bersisa (3x − 3). Suku banyak tersebut adalah ….
A.   x³ − x² − 2x − 3
B.   x³ − x² − 2x + 3
C.   x³ − x² + 2x + 3
D.   x³ − 2x² − x + 2
E.   x³ − 2x² + x − 2

Pembahasan

Kita cari dulu pembagi yang bisa difaktorkan, yaitu x² + x − 2. 

    x² + x − 2
= (x + 2)(x − 1)

Misalkan suku banyak tersebut adalah f(x). Karena f(x) dibagi x² + x − 2 bersisa 2x − 1 maka f(x) dibagi x + 2 atau dibagi x − 1 juga bersisa 2x − 1. Artinya, untuk x = −2 dan x = 1 nilai f(x) = sisa (teorema sisa). 

  f(x) = 2x − 1 

f(−2) = 2(−2) −1
          = −5 

f(1) = 2×1 − 1
       = 1

Sekarang kita perhatikan pembagi yang tidak bisa difaktorkan, yaitu  x² + x − 3 dengan sisa 3x − 3. Misalkan hasil baginya adalah ax + b, diperoleh: 

f(x) = pembagi × hasil bagi + sisa
       = (x² + x − 3)(ax + b) + 3x − 3    ... (1)

Kita terapkan f(−2) = −5 dan f(1) = 1 pada persamaan (1). 

f(x) = (x² + x − 3)(ax + b) + 3x − 3

                    f(−2) = −5
(−1)(−2a + b) − 9 = −5
                  2a − b = 4         ... (2)

                  f(1) = 1
(−1)(a + b) + 0 = 1
             −a − b = 1
               a + b = −1            ... (3)

Substitusi persamaan (2) dan (3).

2a − b = 4
  a + b = −1
————— +
      3a = 3
        a = 1



Substitusi a = 1 ke persamaan (3).

a + b = −1
1 + b = −1
      b = −2

Nah, sekarang tinggal substitusi a = 1 dan b = −2 ke persamaan (1). 

f(x) = (x² + x − 3)(ax + b) + 3x − 3
       = (x² + x − 3)(x − 2) + 3x − 3
       = x³ + x² − 3x − 2x² − 2x + 6 + 3x − 3
       = x³ − x² − 2x + 3

Jadi, suku banyak yang dimaksud adalah x³ − x² − 2x + 3 (B).

Soal tentang Suku Banyak UNAS 2009

Suku banyak f(x) dibagi x − 2 sisanya 1, dibagi x + 3 sisanya –8.
Suku banyak g(x) dibagi x − 2 sisanya 9, dibagi x + 3 sisanya 2.
Jika h(x) = f(x) ∙ g(x) maka sisa pembagian h(x) oleh x² + x − 6 adalah ….

A.   7x − 1
B.   6x − 1
C.   5x − 1
D.   4x − 1
E.   3x − 1

Pembahasan

Suku banyak f(x) dibagi x − 2 sisanya 1, dibagi x + 3 sisanya –8. Artinya:

• f(2) = 1
• f(−3) = −8

Suku banyak g(x) dibagi x − 2 sisanya 9, dibagi x + 3 sisanya 2. Artinya:

• g(2) = 9
• g(−3) = 2

Suku banyak h(x) = f(x) ∙ g(x), berarti pula: 

h(2) = f(2) ∙ g(2)
        = 1 . 9
        = 9 

h(−3) = f(−3) ∙ g(−3)
          = −8 . 2
          = −16

Pembagi h(x), yaitu x² + x − 6, sebenarnya sama dengan pembagi f(x) maupun g(x) karena x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3). Oleh karena itu, jika sisa pembagian h(x) oleh x² + x − 6 adalah ax + b maka untuk x = 2 dan x = −3 berlaku h(x) = ax + b.

h(x)   = ax + b

h(2)   =   2a + b = 9 
h(−3) = −3a + b = −16
             ——————— −
                      5a = 25
                        a = 5 

a = 5 → 2a + b = 9
               10 + b = 9
                        b = −1

Dengan demikian, sisa pembagiannya adalah:

ax + b = 5x − 1

Jadi, sisa pembagian h(x) oleh adalah 5x − 1 (C).

Pembahasan soal Suku Banyak yang lain bisa dilihat di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 10
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 10.
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 11 dan 12.
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 11 dan 12

Simak juga, Pembahasan Matematika IPA UN: Matriks.

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.