Pembahasan Matematika Dasar No. 11 - 15 TKPA SBMPTN 2014 Kode Naskah 642

Pembahasan soal Tes Kemampuan dan Potensi Akademik (TKPA) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2014 kode naskah 642 mata uji Matematika Dasar nomor 11 sampai dengan nomor 15 tentang:

• matriks, 
• fungsi kuadrat (parabola), 
• pertidaksamaan, 
• trigonometri, serta 
• barisan dan deret.

Soal No. 11 tentang Matriks

Diketahui matriks

Jika |A| menyatakan determinan A maka nilai a yang memenuhi ²log ⁡a = 2^|A| adalah ….

A.   1/16
B.   1/4
C.   4
D.   16
E.   32

Pembahasan

Kita tentukan determinan matriks A terlebih dahulu.

|A| = ad − bc
     = 1×4 − 2×1
     = 4 − 2
     = 2

Selanjutnya kita selesaikan persamaan logaritma tersebut. 

²log ⁡a = 2^|A|
2log ⁡a = 2^2
2log ⁡a = 4
       a = 2⁴    [jika ⁿlog ⁡x = y maka x = n^y]
          = 16

Jadi, nilai a yang memenuhi ²log ⁡a = 2^|A| adalah 16 (D).

Soal No. 12 tentang Fungsi Kuadrat (Parabola)

Titik-titik P dan Q masing-masing mempunyai absis 2p dan −3p terletak pada parabola y = x² − 1. Jika garis g tegak lurus PQ dan menyinggung parabola tersebut maka garis g memotong sumbu y di titik berordinat ….

Pembahasan

Titik P mempunyai absis x = 2p dan titik Q mempunyai absis x = −3p yang terletak pada parabola y = x² − 1. Ordinat titik P dan Q dapat diperoleh dengan melakukan substitusi x pada parabola tersebut.

Titik P: x = 2p    → y = 4p² − 1
Titik Q: x = −3p → y = 9p² − 1

Gradien garis PQ (m₁) dapat diperoleh dengan rumus:


       = −p

Garis g tegal lurus garis PQ, berarti perkalian gradien garis g (m₂) dengan gradien garis PQ adalah −1. 

m₁ . m₂ = −1
−p .  m₂ = −1
         m₂ = 1/p
 
Sehingga persamaan garis g adalah: 

y = m₂x + c
   = x/p + c
 
Garis g ini memotong sumbu y (x = 0) pada ordinat: 

y = c

Sekarang kita tinggal mencari nilai c.

Garis g menyinggung kurva parabola y = x² − 1. Syarat menyinggung adalah:

• persamaan parabola = persamaan garis

x² − 1 = x/p + c
x² − x/p − 1 − c = 0
px² − x − p − pc = 0    [kedua ruas dikalikan p]

• diskriminan sama dengan nol

D = 0
b² − 4ac = 0
(−1)² − 4.p.(−p − pc) = 0
1 + 4p² + 4p²c = 0
4p²c = −1 − 4p²

    

Jadi, ordinat titik potong garis g terhadap sumbu y adalah opsi (C).

Soal No. 13 tentang Pertidaksamaan

Penyelesaian pertidaksamaan

adalah ….

A.   x ≤ −½
B.   x ≥ −½
C.   x ≥ 2
D.   x ≤ 2
E.   x ≤ −½ atau x ≥ 2

Pembahasan

Mari kita selesaikan soal pertidaksamaan kuadrat di atas dengan cermat dan hati-hati.

Pembuat nol pertidaksamaan tersebut adalah x = 0, x = 0, dan x = −½.  Karena x = 0 ada 2 maka di sebelah kiri dan kanan 0 (pada garis bilangan) polaritasnya sama.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah x ≤ −½ (A).

Soal No. 14 tentang Trigonometri

Jika cos 𝑥 = 2sin 𝑥 maka nilai sin 𝑥 cos 𝑥 adalah ….

A.   1/5
B.   1/4
C.   1/3
D.   2/5
E.   2/3

Pembahasan

Kita manfaatkan data yang diketahui pada soal.

  cos 𝑥 = 2sin 𝑥

Kemudian kita buat segitiga siku-siku untuk tan x = ½.

Dengan demikian,

Jadi, nilai dari sin 𝑥 cos 𝑥 adalah 2/5 (D).

Soal No. 15 tentang Barisan dan Deret

Jika 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃ adalah barisan aritmetika dan 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₁ + 𝑎₃ adalah barisan geometri maka 𝑎₃/𝑎₁ = ….

A.   6
B.   4
C.   3
D.   2
E.   1

Pembahasan

Mari kita selesaikan soal di atas dengan menggunakan rumus suku tengah.

• Deret aritmetika:

"2 kali suku tengah sama dengan penjumlahan suku pinggir."

• Deret geometri:

"Kuadrat suku tengah sama dengan perkalian suku pinggir'.

𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃ adalah barisan aritmetika, berlaku:

2𝑎₂ = 𝑎₁ + 𝑎₃    ... (1)

𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₁ + 𝑎₃ adalah barisan geometri, berlaku:

𝑎₂² = 𝑎₁.(𝑎₁ + 𝑎₃)
𝑎₂² = 𝑎₁.2𝑎₂     [substitusi persamaan (1)] 
  𝑎₂ = 2𝑎₁        .... (2)

Sekarang kita substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1).

     2𝑎₂ = 𝑎₁ + 𝑎₃
2(2𝑎₁) = 𝑎₁ + 𝑎₃
     4𝑎₁ = 𝑎₁ + 𝑎₃
     3𝑎₁ = 𝑎₃ 
  𝑎₁/𝑎₃ = 1/3 
  𝑎₃/𝑎₁ = 3

Jadi, nilai dari 𝑎₃/𝑎₁ adalah 3 (C).

Pembahasan Matematika Dasar No. 6 - 10 TKD Saintek SBMPTN 2014

Simak juga:
Pembahasan Matematika Dasar No. 46 - 50 TKPA SBMPTN 2015
Pembahasan Matematika Dasar No. 46 - 50 TKPA SBMPTN 2016
Pembahasan Matematika Dasar No. 46 - 50 TKPA SBMPTN 2017

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.