Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Trigonometri

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Integral Fungsi Trigonometri yang meliputi integral tentu dan tak tentu serta integral substitusi fungsi trigonometri.

Integral Fungsi Trigonometri UN 2012

Nilai dari

adalah ….

A.   3/4 + 2√3
B.   3/4 + 3√3
C.   1/4 (1 + 2√3)
D.   2/4 (1 + 2√3)
E.   3/4 (1 + 2√3)

Pembahasan

Berikut ini rumus dasar untuk menyelesaikan soal di atas.

∫ sin ⁡x dx = −cos ⁡x + C
∫ cos ⁡x dx = sin⁡ x + C
∫ sin⁡ ax dx = −1/a cos ⁡ax + C
∫ cos ⁡ax dx = 1/a sin ⁡ax + C

Dengan berpedoman pada rumus dasar di atas, diperoleh:

Kita ubah 1/3 π menjadi 60° agar lebih ramah di otak kita.

Ok, sekarang kita masukkan batas-batasnya.

= (−1/2 cos⁡ 120° + 3 sin⁡ 60°) − (−1/2 cos 0° + 3 sin⁡ 0°)
= [−1/2 (−1/2) + 3 ∙ 1/2 √3] − (−1/2 ∙ 1 + 3 ∙ 0)
= 1/4 + 3/2 √3 + 1/2
= 3/4 + 3/2 √3
= 3/4 + 6/4 √3
= 3/4 (1 + 2√3)

Jadi, hasil dari integral fungsi trigonometri di atas adalah opsi (E).

Integral Fungsi Trigonometri UN 2015

Hasil  ∫ 2 cos ⁡3x sin ⁡x dx adalah ….

A.   −1/2 cos ⁡4x − cos ⁡2x + C
B.   −1/2 cos ⁡4x + cos ⁡2x + C
C.   −1/4 cos ⁡4x + 1/2 cos ⁡2x + C
D.   1/4 cos ⁡4x − 1/2 cos ⁡2x + C
E.   1/4 cos ⁡4x + 1/2 cos ⁡2x + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral di atas, kita wajib mengingat kembali rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus berikut ini.

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Berdasarkan rumus di atas, diperoleh:

   ∫ 2 cos ⁡3x sin ⁡x dx
= ∫ [sin ⁡(3x + x) – sin ⁡(3x – x)] dx
= ∫ (sin⁡ 4x – sin ⁡2x) dx

Selanjutnya kita gunakan rumus pada pembahasan sebelumnya untuk menyelesaikan integral tersebut.

= –1/4 cos ⁡4x + 1/2 cos ⁡2x + C

Jadi, hasil dari integral di atas adalah opsi (C).

Integral Fungsi Trigonometri UN 2011

Hasil dari  ∫ cos⁴⁡2x sin ⁡2x dx adalah ….

A.   –1/10 sin⁵⁡2x + C
B.   –1/10 cos⁵⁡2x + C
C.   –1/5 cos⁵⁡2x + C
D.   1/5 cos⁵⁡2x + C
E.   1/10 sin⁵⁡2x + C

Pembahasan

Integral di atas adalah integral substitusi. Cirinya, terdiri dari dua fungsi yang bila salah satu fungsi diturunkan akan membagi habis fungsi yang lain.

Langkah pertama, mengganti dx dengan d(cos⁡ 2x), kemudian dibagi dengan turunan cos⁡ 2x. Dipilih d(cos⁡ 2x) karena cos⁡ 2x berpangkat lebih tinggi.

Jadi, hasil dari integral substitusi fungsi trigonometri tersebut adalah opsi (B).

Integral Fungsi Trigonometri UN 2014

Hasil

adalah ….

A.   –4/3
B.   –2/3
C.   1/3
D.   2/3
E.   4/3

Pembahasan

Langkah pertama adalah mengubah bentuk sin⁡ 2x.

sin⁡ 2x = 2 sin ⁡x cos ⁡x

Sehingga diperoleh:

Bentuk terakhir ini adalah bentuk integral substitusi.

Mari kita kerjakan seperti soal sebelumnya.

Sekarang tinggal memasukkan batas-batasnya.

= –2/3 cos³⁡ 90° – (–2/3 cos³⁡ 0°)
= 0 – (–2/3 ∙ 1³ )
= 2/3

Jadi, hasil dari integral tersebut adalah 2/3 (D).

Integral Fungsi Trigonometri UN 2013

Nilai dari

adalah ….

A.   –1/3
B.   –1/2
C.   0
D.   1/3
E.   2/3

Pembahasan

Rumus integral sin³⁡ x memang ada. Tetapi, hanya menambah beban memori jika semua rumus integral kita hafalkan. Sekadar tahu saja, ada lebih dari 400 rumus integral.

Lebih baik sin³⁡ x kita jabarkan sebagai berikut:

sin³⁡ x = sin ⁡x sin²⁡ x
          = sin ⁡x (1 – cos²⁡ x )
          = sin⁡ x – sin ⁡x cos²⁡ x

Dengan demikian, integral di atas menjadi:

Coba perhatikan, integral di atas terdiri dari dua suku. Suku pertama langsung bisa kita integralkan sedangkan suku yang kedua harus diintegralkan dengan substitusi.

Ok, proses pengintegralan sudah selesai. Sekarang kita masukkan batas-batasnya.

= (–cos⁡ 90° + 1/3 cos³⁡ x⁡ 90°) – (–cos⁡ 0° + 1/3 cos³⁡ x⁡ 0°)
= 0 – (–1 + 1/3 ∙ 1³⁡)
= 1 – 1/3
= 2/3

Jadi, hasil dari integral tersebut adalah 2/3 (E).

Pembahasan soal Integral Fungsi Trigonometri yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 32
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 32 dan 33
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 34 dan 35
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 33

Simak juga, Pembahasan Matematika IPA UN: Luas Daerah [Aplikasi Integral].

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.