Pembahasan Matematika IPA UN: Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi.

Soal tentang Kaidah Pencacahan UN 2014 (1)

Budi mempunyai koleksi 3 pasang sepatu dengan merk yang berbeda, dan 4 baju yang berlainan coraknya, serta 3 celana yang berbeda warna. Banyak cara berpakaian Budi dengan penampilan yang berbeda adalah ….

A.   10
B.   12
C.   22
D.   41
E.   36

Pembahasan

3 pasang sepatu masing-masing bisa dipadukan dengan 4 corak baju dan 3 celana yang berbeda. Banyak cara yang mungkin adalah:

3 × 4 × 3 = 36

Jadi, banyak cara Budi berpakaian dengan penampilan berbeda adalah 36 cara (E).

Soal tentang Kaidah Pencacahan UN 2013 (1)

Empat siswa dan dua siswi akan duduk berdampingan. Apabila siswi selalu duduk paling pinggir, banyak cara mereka duduk adalah ….

A.   24
B.   48
C.   56
D.   64
E.   72

Pembahasan

Banyak cara 2 siswi duduk di pinggir:

2! = 2 × 1
    = 2

Di antara kedua siswi tersebut ada 4 siswa. Banyak cara mereka duduk adalah:

4! = 4 × 3 × 2 × 1
    = 24

Dengan demikian, banyak cara siswa dan siswi tersebut duduk adalah:

2 × 24 = 48

Jadi, banyak cara duduk empat siswa dan dua siswa tersebut adalah 48 cara (B).

Soal tentang Kaidah Pencacahan UN 2013 (2)

Dua keluarga yang masing-masing terdiri dari 2 orang dan 3 orang ingin foto bersama. Banyak posisi foto yang berbeda dengan anggota keluarga yang sama selalu berdampingan adalah ....

A.   24
B.   36
C.   48
D.   72
E.   96

Pembahasan

Pertama, anggaplah dua keluarga tersebut masing-masing merupakan dua kesatuan. Banyak posisi dua keluarga berfoto adalah:

2! = 2 × 1
    = 2

Selanjutnya masing-masing keluarga melakukan tukar posisi antaranggota keluarga. Banyak posisi foto keluarga yang beranggotakan 2 orang adalah:

2! = 2 × 1
    = 2

Banyak posisi foto keluarga yang beranggotakan 3 orang adalah:

3! = 3 × 2 × 1
    = 6

Dengan demikian, banyak seluruh posisi foto dua keluarga tersebut adalah:

2 × 2 × 6 = 24

Jadi, banyak posisi foto yang berbeda dengan anggota keluarga yang sama selalu berdampingan adalah 24 posisi (A).

Soal tentang Kaidah Pencacahan UN 2014 (2)

Pada suatu rapat terdapat 10 orang yang saling berjabat tangan. Banyak jabatan tangan tersebut adalah ....

A.   90
B.   50
C.   45
D.   25
E.   20

Pembahasan

Cara I
Setiap orang akan berjabat tangan sebanyak 9 kali. Karena ada 10 orang, banyak jabatan yang terjadi adalah:

9 × 10 = 90

Namun, karena jabatan antara A dan B sama dengan jabatan antara B dan A maka hasil tersebut harus dibagi 2 sehingga banyak jabatan yang terjadi adalah:

90 : 2 = 45

Cara II
Secara praktis, soal tersebut dapat diselesaikan dengan rumus kombinasi, yaitu 10 kombinasi 2:

Jadi, banyak jabatan tangan yang terjadi dari 10 orang adalah 45 (C).

Thanks to Zaenal Bahri 

Soal tentang Kombinasi UN 2015

Dari 11 calon Kapolda akan dipilih 4 orang sebagai Kapolda untuk ditempatkan di empat provinsi. Banyak cara pemilihan yang mungkin adalah ….

A.   44
B.   256
C.   330
D.   7.920
E.   10.000

Pembahasan

4 orang Kapolda yang akan dipilih mempunyai kedudukan yang sama (tidak berjenjang atau tidak bertingkat). Oleh karena itu, soal ini harus diselesaikan dengan rumus kombinasi, yaitu 11 kombinasi 4.


         
          = 330

Jadi, banyak cara pemilihan Kapolda yang mungkin adalah 330 cara (C).

Soal tentang Kombinasi UN 2014

Pada suatu tes penerimaan pegawai, seorang pelamar wajib mengerjakan 6 soal di antara 14 soal. Soal nomor 1 sampai 3 harus dikerjakan. Banyak pilihan soal yang harus dilakukan adalah ….

A.   2.002 cara
B.   990 cara
C.   336 cara
D.   165 cara
E.   120 cara

Pembahasan

Dari 6 soal yang wajib dikerjakan, 3 di antaranya (nomor 1 - 3) harus dikerjakan, berarti tinggal 3 soal lagi yang harus dikerjakan. Sementara itu, jumlah seluruh soal adalah 14 soal. Karena 3 soal wajib dikerjakan, berarti tinggal 11 pilihan soal.

Setiap soal kedudukannya setara, oleh karena itu soal ini harus dikerjakan dengan rumus kombinasi, yaitu 3 soal dipilih dari 11 soal atau 11 kombinasi 3.


         
          = 165

Jadi, banyak pilihan soal yang harus dilakukan oleh pelamar tersebut adalah 165 cara (D).

Soal tentang Permutasi UN 2012

Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata “WIYATA” adalah ….

A.   360 kata
B.   180 kata
C.   90 kata
D.   60 kata
E.   30 kata

Pembahasan

Kata "WIYATA" terdiri dari 6 huruf dengan 2 huruf yang sama, yaitu A. Permutasi 6 unsur dengan 2 unsur yang sama dirumuskan:


    
     = 360

Jadi, banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata "WIYATA" adalah 360 kata (A).

Soal tentang Permutasi UN 2013

Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Banyak bilangan yang lebih dari 400 dan kurang dari 800 adalah ….

A.   36
B.   20
C.   19
D.   18
E.   17

Pembahasan

Cara 1 (Permutasi)

Tiga angka yang akan terbentuk, masing mempunyai kedudukan yang bertingkat (satuan, puluhan, dan ratusan) sehingga bisa dikerjakan dengan rumus permutasi. 3 angka dibentuk dari 5 angka atau 5 permutasi 3.


       
        = 60

Dari 60 bilangan yang terbentuk tersebut, yang nilainya lebih dari 400 dan kurang dari 800 adalah bilangan yang mempunyai angka ratusan 5, 6, dan 7 (3 dari 5 angka ratusan). Diperoleh:


                 = 36

Cara 2 (Aturan Perkalian)

Dari angka 3, 5, 6, 7, dan 9, bilangan tiga angka yang lebih dari 400 dan kurang dari 800 dapat dibentuk dari:

• 3 angka ratusan (5, 6, dan 7)
• 4 angka puluhan (5 angka yang tersedia dikurangi 1 angka untuk ratusan)
• 3 angka satuan (5 angka yang tersedia dikurangi 1 angka untuk ratusan dan 1 angka puluhan)

Diperoleh:

3 × 4 × 3 = 36

Jadi, banyak bilangan yang lebih dari 400 dan kurang dari 800 adalah 36 bilangan (A).

Pembahasan soal Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi lainnya bisa dilihat di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 37, 38, dan 39
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 38 dan 39
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 39
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 39 dan 40.
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 37, 38, dan 39
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 33, 34, dan 35
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 40 [isian]
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 32 dan 33
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 39
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 32 dan 33
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 39

Simak juga, Pembahasan Matematika IPA UN: Teori Peluang.

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.