Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Transformasi Geometri yang meliputi komposisi transformasi pencerminan terhadap sumbu x, y = x, y = −x, atau rotasi 90° pada titik, garis, dan kurva.

Soal Transformasi Geometri UN 2013

Bayangan titik A(5, −2) karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi 90° dengan pusat O adalah ....

A.   (−2, −5)
B.   (−2, 5)
C.   (2, 5)
D.   (5, 2)
E.   (5, 4)

Pembahasan

Misal T₁ adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x.

Ingat:   x = 1x + 0y
         −x = −1x + 0y
            y = 0x + 1y
          −y = 0x − 1y

T₂ adalah rotasi 90° (jika tidak disebutkan berarti berlawanan arah putaran jarum jam, atau bernilai positif).

T adalah matriks komposisi transformasi T₁ dilanjutkan dengan T₂.

Berdasarkan matriks komposisi di atas, diperoleh:

x' = y
y' = x

P(x, y) → P'(y, x)

Dengan demikian, bayangan titik A(5, −2) adalah (−2, 5).

Jadi, bayangan titik A(5, −2) karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi 90° dengan pusat O adalah (−2, 5) (B).

Soal Transformasi Geometri UN 2011

Persamaan bayangan garis y = 2x − 3 karena refleksi terhadap garis y = −x dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah ….

A.   y + 2x − 3 = 0
B.   y − 2x − 3 = 0
C.   2y + x − 3 = 0
D.   2y − x − 3 = 0
E.   2y + x + 3 = 0

Pembahasan

Misal T₁ adalah refleksi terhadap garis y = −x.

T₂ adalah refleksi terhadap garis y = x.

T adalah matriks komposisi transformasi T₁ dilanjutkan dengan T₂.

Berdasarkan matriks komposisi tersebut diperoleh:

x' = −x → x = −x'
y'= −y → y = −y'

Dengan demikian, bayangan dari:

   y = 2x − 3
−y' = 2(−x') − 3
−y' = −2x' − 3
y' − 2x' − 3 = 0

Jadi, bayangan dari garis tersebut adalah y − 2x − 3 = 0 (B).

Soal Transformasi Geometri UN 2009

Bayangan garis 2x − y − 6 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi pusat O sejauh 90° adalah ….

A.   2x + y − 6 = 0
B.   x + 2y − 6 = 0
C.   x − 2y − 6 = 0
D.   x + 2y + 6 = 0
E.   x − 2y + 6 = 0

Pembahasan

Misal T₁ adalah matriks pencerminan terhadap sumbu x.



T₁ adalah rotasi 90°.



T adalah matriks komposisi transformasi T₁ dilanjutkan dengan T₂.



Berdasarkan matriks komposisi di atas, diperoleh:

x' = y → y = x'
y' = x → x = y'

Dengan demikian, bayangan dari garis:

2x − y − 6 = 0
2y' − x' − 6 = 0
x' − 2y' + 6 = 0

Jadi, bayangan garis tersebut adalah x − 2y + 6 = 0 (E).

Soal Transformasi Geometri UN 2015

Persamaan bayangan dari garis 3x + 2y + 5 = 0 oleh transformasi pencerminan terhadap garis y = −x dilanjutkan dengan rotasi 90° dengan pusat O(0, 0) berlawanan arah putar jarum jam adalah ….

A.   3x + 2y − 5 = 0
B.   3x − 2y − 5 = 0
C.   3x − 2y + 5 = 0
D.   2x − 3y − 5 = 0
E.   2x − 3y + 5 = 0

Pembahasan

Misal T₁ adalah refleksi terhadap garis y = −x.

  

T₂ adalah rotasi 90°.



T adalah matriks komposisi transformasi T₁ dilanjutkan dengan T₂.

Berdasarkan matriks komposisi di atas, diperoleh:

x' = x   → x = x'
y' = −y → y = −y'

Dengan demikian, bayangan dari garis:

3x + 2y + 5 = 0
3x' + 2(−y') + 5 = 0
3x' − 2y' + 5 = 0

Jadi, bayangan garis tersebut adalah 3x − 2y + 5 = 0 (C).

Soal Transformasi Geometri UN 2010

Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah ….

A.   x + y − 3 = 0
B.   x − y − 3 = 0
C.   x + y + 3 = 0
D.   3x + y + 1 = 0
E.   x + 3y + 1 = 0

Pembahasan

Misalkan:

T adalah matriks komposisi T₁ dilanjutkan T₂.

Karena matriks T bukan matriks diagonal (komponen diagonalnya tidak nol), lebih praktis dicari matriks inversnya.

Berdasarkan matriks komposisi invers tersebut diperoleh:

x = x' + 2y'
y = −y'

Dengan demikian, bayangan dari kurva y adalah:

   y = x + 1
−y' = x' + 2y' + 1
x' + 3y' + 1 = 0

Jadi, bayangan kurva y oleh transformasi tersebut adalah x + 3y + 1 = 0 (E).

Pembahasan soal Transformasi Geometri yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 18
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 17
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 24
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 33
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 29
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 10
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 27
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 13
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 27

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.