Pembahasan Matematika IPA UN: Turunan Fungsi

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Turunan Fungsi yang meliputi turunan fungsi aljabar dan trigonometri.

Soal Turunan Fungsi UN 2008

Diketahui

Jika f'(x) menyatakan turunan pertama f(x) maka f(0) + 2f'(0) = ….

A.   –10
B.   –9
C.   –7
D.   –5
E.   –3

Pembahasan

Kita tentukan dulu nilai dari f(0).

Fungsi f(x) berbentuk u/v. Turunan dalam bentuk tersebut dirumuskan:

Misal:

u = x² + 3   →   u' = 2x
v = 2x + 1   →   v' = 2

Sehingga,

Dengan demikian,

f(0) + 2f' (0) = 3 + 2∙(−6)
                   = 3 − 12
                   = −9

Jadi, nilai dari f(0) + 2f' (0) adalah −9 (B).

Terima kasih buat Hendri Kus.

Soal Turunan Fungsi UN 2016

Turunan pertama dari y = sin²⁡(5x − π) adalah ….

A.   y' = −10 sin⁡ (5x − π)
B.   y' = −5 sin⁡ (10x − 2π)
C.   y' = −5 sin (5x − π)
D.   y' = 5 sin⁡ (10x − 2π)
E.   y' = 10 sin⁡ (10x − 2π)

Pembahasan

Fungsi y = sin²⁡(5x − π) terdiri dari 3 fungsi, yaitu fungsi 5x − π, fungsi sinus, dan fungsi sinus kuadrat. Mari kita misalkan terlebih dahulu.

u = 5x − π    → du/dx = 5

v = sin ⁡(5x − π)
v = sin⁡ u      → dv/du = cos ⁡u

y = sin²⁡ (5x − π)
y = v²          → dy/dv = 2v

Dengan demikian,

Nah, sampai di sini kita gunakan rumus:

sin ⁡2α = 2 sin ⁡α cos ⁡α

Dengan demikian, hasil turunan di atas menjadi:

y' = 2 sin ⁡(5x − π)  cos ⁡(5x − π) ∙ 5
    = 2 sin ⁡2(5x − π) ∙ 5
    = 10 5 sin ⁡(10x − 2π)

Jadi, turunan pertama fungsi y adalah opsi (E D).

Soal Turunan Fungsi UN 2006

Turunan pertama dari f(x) = sin⁴⁡ (3x² − 2) adalah f'(x) = ….

A.   2 sin²⁡ (3x² − 2) sin⁡ (6x² − 4)
B.   12x sin²⁡ (3x² − 2) sin⁡ (6x² − 4)
C.   12x sin²⁡ (3x² − 2) cos⁡ (6x² − 4)
D.   24x sin³⁡ (3x² − 2) cos² ⁡(3x² − 2)
E.   24x sin³⁡ (3x² − 2) cos (3x² − 2)

Pembahasan

Kita misalkan seperti pada pembahasan soal sebelumnya.

u = 3x² − 2  → du/dx = 6x

v = sin⁡ (3x² − 2)
v = sin⁡ u      → dv/du = cos ⁡u

y = sin⁴⁡ (3x² − 2)
y = v⁴          → dy/dv = 4v³

Dengan demikian,

y' = dy/dx
   = dy/dv ∙ dv/du ∙ du/dx
   = 4v³ ∙ cos ⁡u ∙ 6x
   = 4 sin³⁡ (3x² − 2) ∙ cos (3x² − 2) ∙ 6x
   = 24x sin³⁡ (3x² − 2) ∙ cos (3x² − 2) → (E)

Sampai di sini jawaban sudah ketemu, yaitu opsi E. Tetapi bila diteruskan, jawabannya juga tersedia. Mari kita gunakan rumus sudut ganda.

sin ⁡2α = 2 sin ⁡α cos ⁡α

Untuk memanfaatkan rumus di atas, yang perlu diubah adalah:

• 24x = 12x ∙ 2
• sin³⁡ (3x² − 2) = sin²⁡ (3x² − 2) sin (3x² − 2)

Sehingga turunan fungsi y di atas menjadi:

f'(x) = 12x . 2 sin²⁡ (3x² − 2) sin (3x² − 2) ∙ cos (3x² − 2)
       = 12x sin²⁡ (3x² − 2) 2 sin (3x² − 2) ∙ cos (3x² − 2)
       = 12x sin²⁡ (3x² − 2) sin 2(3x² − 2)
       = 12x sin²⁡ (3x² − 2) sin (6x² − 4)  → (B)

Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) tersebut adalah opsi (B/E).

Soal Turunan Fungsi UN 2007

Turunan pertama dari

adalah f'(x) = ….

A.   2/3 cos^−1/3 ⁡3x
B.   2  cos^−1/3 ⁡3x
C.   2/3  cos^−1/3 ⁡3x sin⁡ 3x
D.   -2 cot ⁡3x ∙ ∛(sin² 3x)
E.   2 cot⁡ 3x ∙ ∛(sin² 3x)

Pembahasan

Kita sederhanakan dulu fungsi f(x).

f(x) = ∛(sin² 3x)
      = sin^2/3 3x

Ternyata fungsi f(x) tersebut terdiri dari 3 fungsi, yaitu fungsi 3x, fungsi sinus, dan fungsi sinus pangkat 2/3. Mari kita misalkan ketiga fungsi di atas.

u = 3x       → du/dx = 3

v = sin⁡ 3x
v = sin⁡ u    → dv/du = cos ⁡u

y = sin^2/3 3x
y = v^2/3      → dy/dv = 2/3 v^−1/3

Dengan demikian,

f'(x) = dy/dx
       = dy/dv ∙ dv/du ∙ du/dx
       = 2/3 v^−1/3 ∙ cos ⁡u ∙ 3
       = 2/3 sin^−1/3⁡ 3x ∙ cos 3x ∙ 3
       = 2 sin^−1/3⁡ 3x ∙ cos 3x

Selesai. Tapi tidak ada opsi jawaban yang sesuai. Opsi A, B, dan C sudah pasti salah. Sedangkan opsi D dan E mengandung fungsi cotangent.

Sekarang kita upayakan agar menjadi fungsi cotangent. Kita kalikan dengan sin⁡3x/sin⁡3x .

Jadi, turunan pertama dari fungsi f adalah opsi (E).

Soal Turunan Fungsi UN 2007

Jika f(x) = sin²⁡(2x + 1/6 π) maka nilai dari f'(0) = ….

A.   2√3
B.   2
C.   √3
D.   1/2 √3
E.   1/2 √2

Pembahasan

Agar soalnya terkesan lebih ramah, kita ganti saja 1/6 π dengan 30° sehingga menjadi:

f(x) = sin²⁡(2x + 30°)

Sekarang kita misalkan seperti pembahasan soal sebelumnya.

u = 2x + 30°  → du/dx = 2

v = sin⁡ (2x + 30°)
v = sin⁡ u        → dv/du = cos ⁡u

y = sin²⁡(2x + 30°)
y = v²            → dy/dv = 2v

Dengan demikian,

f'(x) = dy/dx
       = dy/dv ∙ dv/du ∙ du/dx
       = 2v ∙ cos ⁡u ∙ 2
       = 2 sin⁡ (2x + 30°) ∙ cos (2x + 30°) ∙ 2

Karena yang ditanyakan adalah nilai dari f'(0) maka kita tidak perlu menyederhanakan lagi, cukup dimasukkan x = 0.

f'(0) = 2 sin⁡ (2∙0 + 30°) ∙ cos⁡ (2∙0 + 30°) ∙ 2
       = 4 sin⁡ 30° cos 30°
       = 4 ∙ 1/2 ∙ 1/2 √3
       = √3
Jadi, nilai dari f'(0) fungsi tersebut adalah √3 (C).

Pembahasan soal lain tentang Turunan Fungsi bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 28
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 16
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 16
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 14

Simak juga:
Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nila Ekstrem [Aplikasi Turunan]

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.