Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 16 - 20

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2018 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 16 sampai dengan nomor 20 tentang:

• turunan fungsi, 
• aplikasi turunan [fungsi naik], 
• aplikasi turunan [garis singgung], 
• aplikasi turunan [nilai minimum], dan 
• integral tak tentu.

Soal No. 16 tentang Turunan Fungsi

Diketahui f(x) = 5x − 3 dan g(x) = 4x² − 3x. Jika h(x) = f(x) ∙ g(x) dan h'(x) merupakan turunan dari h(x) maka h'(x) = ….

A.   40x − 15
B.   −20x² + 24x − 9
C.   20x³ − 27x² + 9x
D.   20x² + 25x − 15
E.   60x² − 54x + 9

Pembahasan

Kita turunkan dulu fungsi f(x) dan g(x).

f(x) = 5x − 3
f'(x) = 5

g(x) = 4x² − 3x
g'(x) = 8x − 3

Fungsi h(x) terdiri dari fungsi f(x) dan g(x) sebagaimana fungsi y dan turunannya berikut ini.

y = u ∙ v
y' = u'v + uv'

Dengan demikian turunan dari h(x) adalah:

h(x) = f(x) ∙ g(x)

h'(x) = f;(x) ∙ g(x) + f(x) ∙ g'(x)
        = 5(4x² − 3x) + (5x − 3)(8x − 3)
        = 20x² − 15x + 40x² − 15x − 24x + 9
        = 60x² − 54x + 9

Jadi, turunan dari fungsi h(x) adalah opsi (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Turunan Fungsi

Soal No. 17 tentang Aplikasi Turunan [fungsi naik]

Fungsi f(x) = 7/3 x³ + 16x² − 15x + 6 naik pada interval ….

A.   −7/3 < x < 5
B.   −3/7 < x < 5
C.   −5 < x < 3/7
D.   x < −5 atau x > 3/7
E.   x < −3/7 atau x > 5

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = 7/3 x³ + 16x² − 15x + 6.

Fungsi f(x) dikatakan naik apabila turunan pertamanya positif.

                 f'(x) > 0
7x² + 32x − 15 > 0
(7x − 3)(x + 5) > 0

Pembuat nol pertidaksamaan tersebut adalah:

x = 3/7 atau x = −5

Karena tanda pertidaksamaannya “>” maka intervalnya berada di sebelah kiri dan kanan pembuat nol.

x < −5 atau x > 3/7

Jadi, fungsi f(x) naik pada interval x < −5 atau x > 3/7 (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem

Soal No. 18 tentang Aplikasi Turunan [garis singgung]

Persamaan garis singgung kurva y = x² − 5x + 12 yang sejajar dengan garis 3x − y + 5 = 0 adalah ….

A.   3x − y + 4 = 0
B.   3x − y − 4 = 0
C.   3x − y − 20 = 0
D.   x − 3y − 4 = 0
E.   x − 3y + 4 = 0

Pembahasan

Gradien garis singgung kurva y = x² − 5x + 12 adalah turunan pertama dari kurva tersebut.

m₁ = y'
      = 2x − 5

Sedangkan gradien garis 3x − y + 5 = 0 adalah:

m₂ = −a/b
      = −3/(−1)
      = 3

Karena garis singgung kurva dan garis tersebut sejajar maka kedua gradien bernilai sama.

     m₁ = m₂
2x − 5 = 3
      2x = 8
        x = 4

Nah, x = 4 ini merupakan absis titik singgung. Sekarang kita cari ordinatnya dengan cara substitusi absis tersebut pada persamaan kurva.

y = x² − 5x + 12
   = 4² − 5 ∙ 4 + 12
   = 16 − 20 + 12
   = 8

Sehingga titik singgungnya adalah:

(4, 8)

Persamaan garis singgungnya adalah:

      y − y₁ = m₁(x − x₁)
        y − 8 = 3(x − 4)
        y − 8 = 3x − 12
y − 3x + 4 = 0

Hasil ini ternyata tidak ada pada opsi jawaban. Coba masing-masing kita kalikan negatif.

−y + 3x − 4 = 0
   3x − y − 4 = 0

Jadi, persamaan garis singgung kurva tersebut adalah opsi (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem

Soal No. 19 tentang Aplikasi Turunan [nilai minimum]

Suatu industri rumah tangga memproduksi barang selama x hari dengan biaya produksi setiap harinya adalah (4x + 100/x + 40) juta rupiah. Biaya minimum produksi industri rumah tangga dalam ribu rupiah adalah ….

A.   Rp75.000.000,00
B.   Rp80.000.000,00
C.   Rp90.000.000,00
D.   Rp120.000.000,00
E.   Rp145.000.000,00

Pembahasan

Biaya produksi:

B = (4x + 100/x + 40) juta rupiah

Agar biaya produksi minimum maka:

             B' = 0
4 − 100/x² = 0
               4 = 100/x²
            4x² = 100
              x² = 25
                x = ±5 
Kita pakai x = 5 karena x menyatakan jumlah hari.

Dengan demikian, biaya produksi minimum terjadi saat x = 5.

B = (4x + 100/x + 40) juta rupiah
    = (4∙5 + 100/5 + 40) juta rupiah
    = (20 + 20 + 40) juta rupiah
    = 80 juta rupiah

Jadi, biaya minimum produksi industri rumah tangga tersebut adalah Rp80.000.000,00 (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem

Soal No. 20 tentang Integral Tak Tentu

Hasil dari

Pembahasan

Bentuk integral di atas adalah integral substitusi. Cirinya, terdiri dari dua fungsi serta pangkat tertinggi dari dua fungsi tersebut berselisih 1.

Mari kita selesaikan bersama-sama!

Sampai di sini, dx kita ganti dengan d(x² − 2x + 10) kemudian dibagi dengan x² − 2x + 10.

Yang tercetak merah kita coret dan menghasilkan 1/2.

Jadi, hasil dari integral substitusi tersebut adalah opsi (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematka IPA UN: Integral Fungsi Aljabar

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2018 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 36
No. 16 - 20	No. 37 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.