Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 1

Pembahasan soal Matematika IPA Ujian Nasional 2015 nomor 1 sampai dengan nomor 5 tentang:

penarikan kesimpulan,
ekuivalensi,
perpangkatan,
bentuk akar, dan
logaritma.

Soal No. 1 tentang Penarikan Kesimpulan

Diketahui premis-premis berikut:

Saya bermain atau saya tidak gagal dalam ujian.
Saya gagal dalam ujian.

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ...

A. Saya tidak bermain dan saya gagal dalam ujian.
B. Jika saya bermain maka saya tidak gagal dalam ujian.
C. Saya bermain.
D. Saya belajar.
E. Saya tidak bermain.

Pembahasan

Mengerjakan soal logika matematika tidak boleh menggunakan perasaan atau penalaran di luar kepala, tetapi harus dianalisis secara matematis. Ok, kita misalkan terlebih dahulu bagian-bagian dari kedua premis tersebut.

p : Saya bermain.
q : Saya gagal dalam ujian.

Sekarang kita analisis masing-masing premis.

Premis 1 :
Saya bermain atau saya tidak gagal dalam ujian.
≡ p ∨ ~q

Premis 2 :
Saya gagal dalam ujian.
≡ q

Premis 1 berbentuk disjungsi. Agar bisa ditarik kesimpulan, bentuknya harus diubah menjadi implikasi. Kesetaraan antara disjungsi dan implikasi adalah

p ∨ q ≡ ~p ⇒ q

Berdasarkan kesetaraan di atas, diperoleh

p ∨ ~q ≡ ~p ⇒ ~q

Setelah premis 1 sudah dalam bentuk implikasi, kita dapat menarik kesimpulan dari premis 1 dan 2 dengan menggunakan modus Tollens.

~p ⇒ ~q
q
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
∴ p (Saya bermain)

Jadi, kesimpulan yang sah dari dua premis tersebut adalah 'Saya bermain' (C).

Soal No. 2 tentang Ekuivalensi

Pernyataan yang setara dengan pernyataan "Jika semua siswa kelas XII Ujian Nasional maka semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah" adalah ...

A. Semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah dan siswa kelas XII Ujian Nasional.
B. Beberapa siswa kelas XII Ujian Nasional atau beberapa siswa kelas X dan XI belajar di rumah.
C. Beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional atau semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah.
D. Semua siswa kelas XII Ujian Nasional dan beberapa siswa kelas X dan XI belajar di rumah.
E. Beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional atau beberapa siswa kelas X dan XI belajar di rumah.

Pembahasan

Misal:

p : Siswa kelas XII Ujian Nasional.
q : Siswa kelas X dan XI belajar di rumah.

Pernyataan "Jika semua siswa kelas XII Ujian Nasional maka semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah" dapat dinotasikan menjadi

∀p ⇒ ∀q

Pernyataan yang setara atau ekuivalen dengan implikasi tersebut adalah

∀p ⇒ ∀q ≡ ∃~q ⇒ ∃~p (kontraposisi)
∀p ⇒ ∀q ≡ ∃~p ∨ ∀q (negasi dua kali)

Berdasarkan ekuivalensi tersebut, pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas adalah

Jika beberapa siswa kelas X dan XI tidak belajar di rumah maka beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional.
Beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional atau semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah.

Jadi, pernyataan yang tepat adalah opsi (C).

Soal No. 3 tentang Perpangkatan

Bentuk sederhana dari

$perpangkatan, bentuk pangkat, bilangan berpangkat$

adalah ....

$Opsi A$
$Opsi B$
$Opsi C$
$Opsi D$
$Opsi E$

Pembahasan

Langkah pertama adalah mengubah pangkat negatif menjadi pangkat positif. Cara dengan mengubah letak, bila bilangan yang berpangkat negatif letaknya pada posisi pembilang maka dengan mengubah letak ke posisi penyebut pangkatnya akan menjadi positif. Demikian juga sebaliknya. Langkah berikutnya tinggal menjumlah pangkat masing-masing.

$\left (\frac{4x^{\frac{5}{2}}y^{\frac{-7}{3}}z^{\frac{-3}{4}}}{2x^{\frac{-3}{2}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{5}{4}}} \right )^{2}=\left (\frac{4x^{\frac{5}{2}}x^{\frac{3}{2}}}{2y^{\frac{2}{3}}y^{\frac{7}{3}}z^{\frac{5}{4}}z^{\frac{3}{4}}} \right )^{2}$
$=\left (\frac{2x^{4}}{y^{3}z^{2}} \right )^{2}$
$=\frac{4x^{8}}{y^{6}z^{4}}$

Jadi, bentuk sederhana dari perpangkatan tersebut adalah opsi (E).

Untuk memperdalam, silakan pelajari Pembahasan Soal UN: Perpangkatan.

Soal No. 4 tentang Bentuk Akar

Bentuk sederhana dari

$Bentuk akar, dikalikan dengan bilangan sekawan$

adalah ....

A. 4 − 2√3
B. 2 − √3
C. −2 + √3
D. −4 + √3
E. −4 − 2√3

Pembahasan

Perhatikan pembilangnya! Pembilangnya berbentuk (a + b) (a − b) sehingga dapat disederhanakan menjadi

(a + b)(a − b)          = a² − b²
(√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 3
                                = 2

Untuk sementara bentuk sederhana dari bentuk akar tersebut adalah

$Bentuk yang lebih sederhana$

Bentuk ini dapat disederhanakan lagi dengan cara mengalikan bilangan sekawan dari penyebutnya.

    $Dikalikan bilangan sekawan dari penyebut$
$=\frac{2\sqrt{3}-4}{3-4}$
= −2√3 + 4
= 4 − 2√3

Jadi, bentuk sederhana dari bentuk akar tersebut adalah 4 − 2√3 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Soal UN: Bentuk Akar.

Soal No. 5 tentang Logaritma

Hasil dari

$Bentuk logaritma$

adalah ....

A. 25/8
B. 23/8
C. 7/4
D. −7/4
E. −23/8

Pembahasan

Kita ubah dulu angka-angka pada soal di atas menjadi bilangan berpangkat.

$Mengubah bilangan pokok logaritma menjadi bilangan berpangkat$

Kita gunakan rumus ^aⁿlog b^m = m/n ^alog b untuk menyederhanakan bentuk di atas.

$\frac{\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \, ^{3}\log 2\, \cdot\, ^{2}\log 3\, -\, \frac{2}{1/2}^{5}\log 5}{2\cdot \, ^{3}\log 3\, -\, 3\cdot \, ^{3}\log 3}$

Mengingat ^alog b . ^blog a = 1 dan ^alog a = 1 maka diperoleh

$\frac{\frac{3}{2}\cdot \frac{3}{4}\, -\, \frac{2}{1/2}}{2 \, -\, 3}$
$=\frac{\frac{9}{8}\, -\, 4}{-1}$
= 23/8

Jadi, hasil dari bentuk logaritma tersebut adalah 23/8 (B).

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2015 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Thursday, 31 December 2015