Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 31

Pembahasan soal Matematika IPA Ujian Nasional 2015 nomor 31 sampai dengan nomor 35 tentang:

aplikasi turunan,
integral tak tentu fungsi aljabar,
integral tentu fungsi aljabar,
integral tak tentu fungsi trigonometri, dan
integral tentu fungsi trigonometri.

Soal No. 31 tentang Aplikasi Turunan

Icha akan meniup balon karet berbentuk bola.

Icha meniup balon karet berbentuk bola menggunakan pompa

Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm³/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah ... cm.

$A.\; \; \; \frac{1}{\sqrt{\pi }}$
$B.\; \; \; \frac{1}{\sqrt{2\pi }}$
$C.\; \; \; \frac{1}{2\sqrt{\pi }}$
$D.\; \; \; \frac{2}{3\sqrt{\pi }}$
$D.\; \; \; \pi$

Pembahasan

Laju pertambahan volume udara 40 cm³/detik (kata 'laju' berarti turunan terhadap waktu)

$Laju pertambahan volume udara 40 cm/detik, turunan V terhadap t$

Laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik

$Laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, turunan r terhadap t$

Rumus volume bola

$Rumus volume bola$

Dengan mendeferensialkan masing-masing ruas, diperoleh

$\frac{dV}{dt}=3\cdot \frac{4}{3}\pi r^{2}\, \, \frac{dr}{dt}$
$\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\, \, \frac{dr}{dt}$
$40=4\pi r^{2}\cdot 20$
$r^{2}=\frac{1}{2\pi }$
$r=\frac{1}{\sqrt{2\pi} }$

Jadi, jari-jari bola setelah ditiup adalah 1/√(2π) cm (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem.

Soal No. 32 tentang Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Hasil dari ∫ 4x(4x² − 3)⁴ dx adalah ....

A. 1/10 (4x² − 3)⁵ + C
B. 1/5 (4x² − 3)⁵ + C
C. 2/5 (4x² − 3)⁵ + C
D. (4x² − 3)⁵ + C
E. 2 (4x² − 3)⁵ + C

Pembahasan

Bentuk integral di atas adalah integral substitusi karena pangkat tertinggi di luar dan di dalam kurung berselisih satu.

∫ 4x(4x² − 3)⁴ dx
$Integral substitusi$
= ½ ∫ (4x² − 3)⁴ d(4x² − 3)
= ½ . ⅕ (4x² − 3)⁵ + C
= 1/10 (4x² − 3)⁵ + C

Jadi, hasil dari integral substitusi tersebut adalah opsi (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Aljabar.

Soal No. 33 tentang Integral Tentu Fungsi Aljabar

Nilai dari

$Integral Tentu fungsi aljabar, integral batas$

adalah ....

A. 20
B. 12
C. 8
D. 4
E. 2

Pembahasan

Kita ubah bentuk akar pada integral tersebut menjadi bentuk pangkat.

$\int_{1}^{4}\left ( 3x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}} \right )dx$
$=\left [3\cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}} \right ]_{1}^{4}$
$=\left [2x\sqrt{x}-2\sqrt{x} \right ]_{1}^{4}$
= (2.4√4 − 2√4) − (2.1√1 − 2√1)
= (16 − 4) − (2 − 2)
= 12

Jadi, nilai dari integral tersebut adalah 12 (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Aljabar.

Soal No. 34 tentang Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Hasil ∫ 4 sin 4x cos 2x dx adalah ....

A. −⅙ cos 6x − ½ cos 2x + C
B. −⅓ cos 6x − cos 2x + C
C. ⅙ cos 6x − ½ cos 2x + C
D. ⅙ cos 6x + ½ cos 2x + C
E. ⅙ cos 6x + cos 2x + C

Pembahasan

Rumus perkalian sinus dan kosinus.

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A − B)

Berdasarkan rumus tersebut maka

∫ 4 sin 4x cos 2x dx
= 2 ∫ 2 sin 4x cos 2x dx
= 2 ∫ sin 6x sin 2x dx
= 2 (−⅙ cos 6x − ½ cos 2x) + C
= −⅓ cos 6x − cos 2x + C

Jadi, hasil dari integral fungsi trigonometri tersebut adalah opsi (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Trigonometri.

Soal No. 35 tentang Integral Tentu Fungsi Trigonometri

Nilai dari

$Integral Tentu Fungsi Trigonometri, integral batas$

adalah ....

A. −1
B. −½
C. 0
D. ½
E. 1

Pembahasan

Integral seperti ini langsung bisa diintegral, yang perlu diubah adalah batas integrasinya. π/4 sebaiknya diubah menjadi 45° karena otak kita lebih familier dengan derajat daripada radian.

$Integral Tentu Fungsi Trigonometri, integral batas$
$=\left [ \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x \right ]_{0}^{45^{\circ}}$
= (½ sin 90° + ½ cos 90°) − (½ sin 0° + ½ cos 0°)
= (½ + 0) − (0 + ½)
= 0

Jadi, nilai dari integral trigonometri tersebut adalah 0 (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Trigonometri.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2015 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Friday, 15 January 2016