Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan Kuadrat

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Persamaan Kuadrat yang meliputi:

• sifat akar persamaan kuadrat, 
• jenis akar persamaan kuadrat, dan 
• persamaan kuadrat baru.

Soal Persamaan Kuadrat UN 2011

Akar-akar persamaan kuadrat 2x² + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif maka nilai m adalah ….

A.   −12
B.   −6
C.   6
D.   8
E.   12

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat 2x² + mx + 16 = 0 diperoleh: 

a = 2 
b = m
c = 16

Perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

α.β = c/a

Susbstitusi α = 2β diperoleh:

2β.β = 16/2
  2β² = 8
    β² = 4
      β = ±2

Karena disebutkan bahwa α dan β bernilai positif maka

β = 2

Sementara itu, penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

  α + β = −b/a
2β + β = −m/2
       3β = −m/2

Substitusi β = 2 diperoleh:

3 × 2 = −m/2
      6 = −m/2
     m = −12

Jadi, nilai m adalah −12 (A).

Soal Persamaan Kuadrat UN 2013

Akar-akar persamaan x² + (a − 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a = ….

A.   2
B.   3
C.   4
D.   6
E.   8

Pembahasan

Koefisien persamaan x² + (a − 1)x + 2 = 0 adalah:

a = 1
b = a − 1
c = 2

Perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

αβ = c/a
     = 2

Diketahui pada soal bahwa α = 2β. Substitusi α = 2β diperoleh:

2ββ = 2
  β² = 1
    β = ±1

Sedangkan penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

  α + β = −b/a
2β + β = −(a − 1)/1
      3β = −a + 1
        a = 1 − 3β

Sekarang kita substitusikan β = ±1 untuk mendapatkan nilai a.

β = +1 → a = 1 − 3×1
                    = 1 − 3
                    = −2

β = −1 → a = 1 − 3×(−1)
                    = 1 + 3
                    = 4

Karena yang diminta a > 0 maka nilai a yang memenuhi adalah 4.

Jadi, nilai a pada persamaan kuadrat tersebut adalah 4 (C).

Soal Persamaan Kuadrat UN 2012

Persamaan kuadrat x² + 4px + 4 = 0 mempunyai akar-akar x₁ dan x₂. Jika x₁x₂² + x₁² x₂ = 32 maka nilai p adalah ….

A.   −4
B.   −2
C.   2
D.   4
E.   8

Pembahasan

Nilai koefisien persamaan kuadrat x² + 4px + 4 = 0 adalah: 

a = 1 
b = 4p
c = 4

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah: 

x₁ + x₂ = −b/a
             = −4p

x₁ . x₂ = c/a
            = 4

Nah, sekarang kita masuk ke pertanyaan. 

x₁x₂² + x₁² x₂ = 32
 x₁x₂ (x₁ + x₂) = 32
         4 . (−4p) = 32
               −16p = 32
                     p = −2

Jadi, nilai p adalah −2 (B).

Soal Persamaan Kuadrat UN 2015

Persamaan kuadrat x² + 7x + 1 = 0 akar-akarnya α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + 4) dan (β + 4) adalah ….

A.   x² + 7x − 43 = 0
B.   x² + 7x − 11 = 0
C.   x² − x + 23 = 0
D.   x² − x + 13 = 0
E.   x² − x − 11 = 0

Pembahasan

Cara 1

Nilai koefisien persamaan kuadrat x² + 7x + 1 = 0 adalah: 

a = 1 
b = 7 
c = 1

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

α + β = −b/a
          = −7

α . β = c/a
        = 1

Jika persamaan kuadrat baru tersebut dinyatakan 

x² − px + q = 0

maka 

p = (α + 4) + (β + 4)
   = α + β + 8
   = −7 + 8
   = 1 

q = (α + 4)(β + 4)
   = αβ + 4α + 4β + 16
   = αβ + 4(α + β) + 16
   = 1 + 4(−7) + 16
   = −11

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru tersebut adalah 

x² − px + q = 0 
x² − x − 11 = 0

Cara 2 

Karena akar-akar persamaan kuadrat baru merupakan akar-akar persamaan kuadrat lama yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama, yaitu (α + 4) dan (β + 4), maka persamaan kuadrat baru tersebut dapat ditentukan secara sederhana sebagai berikut:

Misal    x = α + 4
maka     α = x − 4

Persamaan kuadrat lama : x² + 7x + 1 = 0
Persamaan kuadrat baru : α² + 7α + 1 = 0

Substitusi α = x − 4 pada persamaan kuadrat baru:

                         α² + 7α + 1 = 0 
       (x − 4)² + 7(x − 4) + 1 = 0
x² − 8x + 16 + 7x − 28 + 1 = 0
                         x² − x − 11 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah opsi (E).

Soal Persamaan Kuadrat UN 2014

Persamaan kuadrat x² − (k − 1)x + 4 = 0 tidak mempunyai akar real. Batas-batas nilai k yang memenuhi adalah ….

A.   −5 < k < 3
B.   −3 < k < 5
C.   k < −3 atau k > 5
D.   k ≤ −3 atau k ≥ 5
E.   k ≤ −5 atau k ≥ 3

Pembahasan

Nilai koefisien persamaan kuadrat x² − (k − 1)x + 4 = 0 adalah: 

a = 1 
b = −(k − 1)
   = −k + 1 
c = 4

Tidak mempunyai akar real berarti akar-akarnya imajiner. Syarat persamaan kuadrat yang berakar imajiner adalah:

                       D < 0
             b² − 4ac < 0
(−k + 1)² − 4.1.4 < 0 
k² − 2k + 1 − 16 < 0
       k² − 2k − 15 < 0
     (k + 3)(k − 5) < 0

Karena tanda pertidaksamaannya '<' maka nilai k berada di antara −3 dan 5.

∴ −3 < k < 5

Jadi, batas-batas nila k yang memenuhi adalah −3 < k < 5 (B).

Pembahasan soal Persamaan Kuadrat yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 7 
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 6 dan 7
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 6 dan 7
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 8, 9, dan 10
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 37 [isian]

Simak juga:
Pembahasan Matematika IPA UN: Fungsi Kuadrat
Pembahasan Matematika IPA UN: Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear.

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.