Pembahasan Matematika IPA UN: Matriks

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Matriks.

Soal tentang Matriks UN 2012

Diketahui matriks

$Soal matriks UN 2012$

Jika

$A+B-C=\begin{pmatrix} 8 & 5x\\ -x & -4 \end{pmatrix}$

maka nilai x + 2xy + y adalah ....

A.   8
B.   12
C.   18
D.   20
E.   22

Pembahasan

Kita kerjakan pelan-pelan saja. Soal matriks memang mudah, tetapi harus teliti.

                                            $A+B-C=\begin{pmatrix} 8 & 5x\\ -x & -4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & y\\ 5 & -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x & 5\\ -3 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 & -1\\ y & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 5x\\ -x & -4 \end{pmatrix}$
                                     $\begin{pmatrix} x+6 & y+6\\ 2-y & -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 5x\\ -x & -4 \end{pmatrix}$

Berdasarkan kesamaan matriks tersebut diperoleh:

x + 6 = 8
       x = 8 − 6
          = 2

y + 6 = 5x
         = 5×2
      y = 10 − 6
         = 4

Dengan demikian,

x + 2xy + y = 2 + 2×2×4 + 4
                   = 2 + 16 + 4
                   = 22

Jadi, nilai dari x + 2xy + y adalah 22 (E).

Soal tentang Matriks UN 2014

Diketahui matriks

$Soal Matriks UN 2014$

Jika A^T adalah transpose dari matriks A berlaku

$A^{T}+B-C=\begin{pmatrix} 0 & -3\\ 4 & -5 \end{pmatrix}$

nilai dari w − x − y + z adalah ....

A.   7
B.   6
C.   5
D.   4
E.   3

Pembahasan

Transpose matriks A adalah (baris diganti kolom):

$Transpose dari matriks A$

Sekarang kita kerjakan persamaan matriks yang diketahui pada soal.

                                      $A^{T}+B-C=\begin{pmatrix} 0 & -3\\ 4 & -5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & x\\ w & -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y & -3\\ 5 & z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & 5\\ 5 & 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -3\\ 4 & -5 \end{pmatrix}$
                                $\begin{pmatrix} y-2 & x-8\\ w & z-11 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -3\\ 4 & -5 \end{pmatrix}$

Berdasarkan kesamaan matriks tersebut diperoleh:

y − 2 = 0
       y = 2

x − 8 = −3
      x = −3 + 8
         = 5

w = 4

z − 11 = −5
         z = −5 + 11
            = 6

Sehingga:

w − x − y + z = 4 − 5 − 2 + 6
                      = 3

Jadi, nilai dari w − x − y + z adalah 3 (E).

Soal tentang Matriks UNAS 2010

Nilai a + b + c yang memenuhi persamaan matriks:

$Soal matriks UNAS 2010$

adalah ....

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6

Pembahasan

Dengan mengalikan matriks ruas kiri dan mengurangkan matriks ruas kanan, diperoleh kesamaan matriks:

$\begin{pmatrix} 7c & 5a\\ 7c & 4a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7a & 10\\ 14b & 4c \end{pmatrix}$

Berdasarkan kesamaan matriks tersebut, diperoleh:

5a = 10
a = 2

7c = 7a
c = a
= 2

7c = 14b
c = 2b
2 = 2b
b = 1

Sehingga:

a + b + c = 2 + 1 + 2
= 5

Jadi, nilai dari a + b + c adalah 5 (D).

Soal tentang Matriks UN 2013

Diketahui matriks

$Soal matriks UN 2013$

Jika AB = C maka a + b + c = ....

A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
E. 11

Pembahasan

Kita mulai dari persamaan matriks yang tersedia pada soal hingga diperoleh kesamaan matriks.

AB = C
$\begin{pmatrix} 1 & a\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & b\\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 7 & c \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3-a & a+b\\ 7 & 2b-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 7 & c \end{pmatrix}$

Berdasarkan kesamaan matriks di atas, diperoleh:

3 − a = 1
    −a = −2
       a = 2

a + b = 4
2 + b = 4
      b = 2

2b − 1 = c
4 − 1 = c
         c = 3

Dengan demikian,

a + b + c = 2 + 2 + 3
               = 7

Jadi nilai dari a + b + c adalah 7 (C).

Soal tentang Matriks UN 2011

Diketahui matriks

$Soal matriks UN 2011$

Jika A^T transpose matriks A dan AX = B + A^T maka determinan matriks X adalah ....

A. −5
B. −1
C. 1
D. 5
E. 8

Pembahasan

Transpose dan determinan matriks A adalah:

   $A=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
$A^{T}=\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
det A = 15 − 0
        = 15

Misalkan C = B + A^T maka

$C=\begin{pmatrix} -3 & -1\\ -17 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
     $=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -15 & 5 \end{pmatrix}$
det C = 0 − 15
    = −15

Persamaan yang berlaku pada soal di atas adalah :

AX = B + A^T
AX = C
X = A^-1C
det X = det A^-1 . det C
         = det C / det A
         = −15/15
         = −1
(ingat, det A^-1 = 1/det A)

Jadi, determinan matriks X adalah −1 (B).

Pembahasan soal Matriks yang lain bisa dilihat di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 14
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 13
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 15
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 13 dan 14
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 11 dan 12
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 10
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 11
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 9
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 12

Simak juga, Pembahasan Matematika IPA UN: Barisan dan Deret.

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Wednesday, 9 March 2016