Pembahasan Matematika No. 6 - 10 TKD Saintek SBMPTN 2015 Kode Naskah 502

Pembahasan soal Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2015 kode naskah 502 subtes Matematika nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:

• suku banyak, 
• pertidaksamaan eksponen, 
• persamaan eksponen dan logaritma, 
• limit fungsi, serta 
• barisan dan deret.

Soal No. 6 tentang Suku Banyak

Sisa pembagian

A(x − 2)²⁰¹⁴ + (x − 1)²⁰¹⁵ − (x − 2)²
 
oleh x² − 3x + 2 adalah Bx − 1. Nilai 5A + 3B adalah ….

A.   0
B.   2
C.   4
D.   6
E.   8

Pembahasan

Pembagi suku banyak tersebut adalah x² − 3x + 2 yang dapat difaktorkan menjadi (x − 2)(x − 1). Artinya:

Jika f(x) dibagi x² − 3x + 2 sisa s(x) = Bx − 1

maka f(x) dibagi x − 2 sisa s(2) = 2B − 1
          f(x) dibagi x − 1 sisa s(1) = B − 1

Misalkan suku banyak tersebut adalah f(x). 

f(x) = A(x − 2)²⁰¹⁴ + (x − 1)²⁰¹⁵ − (x − 2)²
 
Menurut teorema sisa, jika suku banyak f(x) dibagi x − a maka sisanya adalah f(a). Sehingga: 

f(x) dibagi x − 2

     sisa = f(2) 
     s(2) = f(2)
2B − 1 = A(2 − 2)²⁰¹⁴ + (2 − 1)²⁰¹⁵ − (2 − 2)²
            = 0 + 1 − 0
            = 1
       2B = 2
         B = 1 

f(x) dibagi x − 1

   sisa = f(1) 
   s(1) = f(1)
B − 1 = A(1 − 2)²⁰¹⁴ + (1 − 1)²⁰¹⁵ − (1 − 2)²
1 − 1 = A + 0 − 1
       0 = A − 1
      A = 1

Dengan demikian:

5A + 3B = 5×1 + 3×1
               = 5 + 3
               = 8

Jadi, nilai 5A + 3B adalah 8 (E).

Soal No. 7 tentang Pertidaksamaan Eksponen

Nilai c yang memenuhi

(0,25)^{(3x2 − 2x − 4)} < (0,0625)^{(x2 + x − c)}
 
adalah ….

A.   −4 < c < 0
B.   0 < c < 4
C.   c < −4
D.   c < 4
E.   c > 4

Pembahasan

Langkah pertama untuk menyelesaikan soal di atas adalah menyamakan bilangan pokoknya, yaitu 0,0625 dijadikan (0,25)². Diperoleh:

(0,25)^{(3x2 − 2x − 4)} < (0,0625)^{(x2 + x − c)}
(0,25)^{(3x2 − 2x − 4)} < (0,25)^{2(x2 + x − c)}
 
Selanjutnya, untuk bilangan pokok 0 < a < 1, berlaku: 

a^f(x) < a^g(x)  ⇔ f(x) > g(x)
(perhatikan, tanda pertidaksamaan dibalik)

Sehingga diperoleh:

3x² − 2x − 4 > 2x² + 2x − 2c
x² − 4x − 4 + 2c > 0

Pertidaksamaan terakhir ini berarti persamaan kuadrat x² − 4x − 4 + 2c bernilai positif atau definit positif. Syarat definit positif adalah diskriminan persamaan kuadrat tersebut kurang dari nol.

                              D < 0
                   b² − 4aC < 0
(−4)² − 4.1.(−4 + 2c) < 0
             16 + 16 − 8c < 0
                           −8c < −32
                                c > 4 
 
Jadi, nilai c yang memenuhi adalah c > 4 (E).

Soal No. 8 tentang Persamaan Eksponen dan Logaritma

Jika x₁, x₂ adalah akar-akar

25^2x − 5^2x+1 − 2 ∙ 5^2x+3 + a = 0

di mana x₁ + x₂ = 2 ∙ ⁵log ⁡2 maka a = ….

A.   8
B.   8√2
C.   16
D.   16√2
E.   32

Pembahasan

Bentuk eksponen kita pecah dengan menggunakan rumus a^m+n = a^m . aⁿ. Diperoleh:

25^2x − 5^2x+1 − 2 ∙ 5^2x+3 + a = 0
25^2x − 5^2x . 5¹ − 2 ∙ 5^2x . 5³ + a = 0
25^2x − 5 . 25^x − 250 ∙ 25^x + a = 0
25^2x − 255 . 25^x + a = 0

Persamaan eksponen terakhir berbentuk persamaan kuadrat. Kita buat permisalan agar lebih tampak sederhana.

 25^x = p
25^2x = p²
 
Sehingga persamaan eksponen tersebut menjadi: 

p² − 255p + a = 0 

Jika p₁ dan p₂ adalah akar persamaan tersebut maka perkalian akarnya adalah:

      p₁ . p₂ = a
25^x₁ . 25^x₂ = a
     25^x₁+x₂ = a
 
Sedangkan pada soal diketahui bahwa:

x₁ + x₂ = 2 ∙ ⁵log ⁡2
            = ⁵log⁡ 2²
            = ⁵log⁡ 4

Sehingga diperoleh:

25^x₁+x₂ = a
25^{5log 4} = a
5^{25log 4} = a
5^{5log 16} = a
        16 = a   (m^{mlog x} = x) 

Jadi, nilai a adalah 16 (C).

Soal No. 9 tentang Limit Fungsi

Nilai dari

adalah ....

A.   −1/2
B.   −1/4
C.   1/8
D.   1/4
E.   1/2

Pembahasan

Limit bentuk di atas harus kita kalikan bilangan sekawan dari √(5 − x) − 2 karena bentuk akar ini akan menghasilkan nol bila disubstitusi x = 1.

Jadi, nilai dari limit pada soal di atas adalah 1/2 (E).

Soal No. 10 tentang Barisan dan Deret

Jika u₁, u₂, u₃, … adalah barisan geometri yang memenuhi u₃ − u₆ = x dan u₂ − u₄ = y maka x/y = ….

Pembahasan

Suku ke-n deret geometri memenuhi rumus: 

u_n = arⁿ⁻¹
 
Berdasarkan rumus tersebut, kita tentukan nilai untuk x dan y. 

x = u₃ − u₆
   = ar² − ar⁵
   = ar²(1 − r³)  

y = u₂ − u₄
   = ar − ar³
   = ar(1 − r²)

Nah, sekarang tinggal kita bandingkan nilai x dan y.

Jadi, nilai perbandingan antara x dan y adalah opsi (C).

Simak Pembahasan Soal TKD Saintek SBMPTN 2015 selengkapnya.

No. 01 - 05 (Mat)	No. 31 - 35 (Kim)
No. 06 - 10 (Mat)	No. 36 - 40 (Kim)
No. 11 - 15 (Mat)	No. 41 - 45 (Kim)
No. 16 - 20 (Fis)	No. 46 - 50 (Bio)
No. 21 - 25 (Fis)	No. 51 - 55 (Bio)
No. 26 - 30 (Fis)	No. 56 - 60 (Bio)

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.