![]() |
Barisan dan Deret Geometri |
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2017 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 16 sampai dengan nomor 20 tentang:
- pertumbuhan dan peluruhan,
- barisan dan deret geometri,
- barisan dan deret aritmetika,
- limit fungsi (mendekati tak hingga), serta
- limit fungsi (bentuk pecahan akar).
Soal No. 16 tentang Pertumbuhan dan Peluruhan
Sebuah unsur radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 30 menit. Jika pada mulanya massa unsur tersebut 20 gram, massa unsur yang meluruh selama 2 jam adalah ….
A. 1,25 gram
B. 2,50 gram
C. 10,00 gram
D. 17,50 gram
E. 18,75 gram
A. 1,25 gram
B. 2,50 gram
C. 10,00 gram
D. 17,50 gram
E. 18,75 gram
Pembahasan
Peluruhan adalah berkurangnya suatu nilai dengan faktor pembagi yang tetap dalam setiap periode. Peluruhan dirumuskan sebagai:Ln = L0 (1 − r)n
dengan
Ln : sisa setelah meluruh n periode
L0 : awal peluruhan
r : faktor pembagi
n : periode peluruhan
Sementara itu diketahui pada soal:
L0 = 20 gram
r = 1/2
Peluruhan terjadi setiap 30 menit, berarti selama 2 jam (120 menit) periode peluruhannya adalah:
n = 120/30 = 4
Sisa unsur radioaktif tersebut setelah meluruh 2 jam adalah:
Ln = L0 (1 − r)n
= 20(1 − 1/2)4
= 20 × (1/2)4
= 20 × 1/16
= 1,25
Dengan demikian, massa unsur yang meluruh adalah:
L0 − Ln = 20 − 1,25
= 18,75
Jadi, massa unsur yang meluruh selama 2 jam adalah 18,75 gram (E).
Soal No. 17 tentang Barisan dan Deret Geometri
Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri adalah 3 dan 81. Jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah ….
A. 3n+1 − 3
B. 3n+1 − 1
C. 2 ∙ 3n − 1
D. 1/2 (3n − 1)
E. 1/3 (3n − 1)
A. 3n+1 − 3
B. 3n+1 − 1
C. 2 ∙ 3n − 1
D. 1/2 (3n − 1)
E. 1/3 (3n − 1)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOYhL5jmQhQtnzj9YjBuJWCjsgdDiC9O0Fx0O8x2n4g8t-rhEzm1nvHxOPrdDqTjXmikEXW7QzpHu1AYaWdYsg28ctWSOdqrhGOB6VBquFiYDmgxmGqfGo5oQhFybLT9LWWkU9OyUxMA/s1600/banner-ebook.jpg)
Pembahasan
Diketahui:U2 = 3
U5 = 81
Rasio barisan geometri tersebut adalah:
![Cara menentukan rasio deret geometri Cara menentukan rasio deret geometri bila diketahui U2 dan U5](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrtVkNGctR2IFtnE-ztpJAPtRFKVlGiGsAnOY4agekYGJbSQdXtcsni2nQcZi1CQM4gbm4HUJoRCA7JONb-CFNN-n-5H2eQ9unnOLhKlzz7AddnRHr_iKvK39Q9krSNfBIttWAPffSBw/s1600/rasio-geometri3.jpg)
Suku pertama bisa dicari melalui suku kedua.
U2 = ar
3 = a ∙ 3
a = 1
Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio lebih dari 1 dirumuskan sebagai:
![Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio lebih dari 1 Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio lebih dari 1](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh42qlEcI3iKDnT3zob2y0Q4DeT_diBBII_nLArxs3s4fLq6F8nhg_gwAztRFzFA6r4dITesMVd41oxnBNk_Lr8ni7M6l34mCqn_E0y1vVoCc37jf37MU_lCe7LwSr_5boTvP3KWI1cw/s1600/jumlah-n.jpg)
Jadi, jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah opsi (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Barisan dan Deret.
Soal No. 18 tentang Barisan dan Deret Aritmetika
Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan masing-masing potongan membentuk deret aritmetika. Bila potongan tali terpendek adalah 6 cm dan yang terpanjang 384 cm, panjang tali semula adalah ….
A. 1.375 cm
B. 1.365 cm
C. 1.265 cm
D. 1.245 cm
E. 762 cm
A. 1.375 cm
B. 1.365 cm
C. 1.265 cm
D. 1.245 cm
E. 762 cm
Pembahasan
Diketahui:n = 7
a = 6 cm
U7 = 384 cm
Panjang tali semula adalah panjang tali sebelum dipotong menjadi 7 atau sama dengan jumlah ke-7 potongan tersebut.
Sn = n/2 (a + Un)
S7 = 7/2 (a + U7)
= 7/2 (6 + 384)
= 7/2 ∙ 90
= 1365
Jadi, panjang tali semula adalah 1.365 cm (B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Barisan dan Deret.
Soal No. 19 tentang Limit Fungsi (mendekati tak hingga)
Nilai
adalah ….
A. −4
B. −2
C. 0
D. 2
E. 4
![Soal limit fungsi mendekati tak hingga UN 2017 Soal limit fungsi mendekati tak hingga UN 2017](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiILQQX2DvKpw0qlugcwz0poQgmYTPNAley8Lp9Leqyume7U28J-G2f3Oru3jxBnYsDGzz6_LyT7daUnhW4XqB_fdLBJRjqSrgSX3P6qnlK0JX61p8OMFpkftpKuHJZECG453SqnsY6uw/s1600/limit-tak-hingga5.jpg)
adalah ….
A. −4
B. −2
C. 0
D. 2
E. 4
Pembahasan
Bentuk baku dari limit fungsi di atas adalah:![Rumus limit mendekatBentuk baku dan rumus limit mendekati tak hinggai tak hingga Bentuk baku dan rumus limit mendekati tak hingga](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFexyCwW3lvh3fBsb1He7k14Te4N1JVX6W4JomUZHo0AqZvke726Blau8xFlstYihXsRMRUbYS_Znxd8UpetV51hDeZwnZJ2NwLvfeL1rJGBgGWu9KQhn_R7lmNCdqQkICNomjJSuSbQ/s1600/rumus-limit.jpg)
Nah, tugas kita adalah mengupayakan agar limit pada soal di atas berbentuk baku. Prinsipnya cukup sederhana.
![a sama dengan akar a kuadrat a sama dengan akar a kuadrat](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHz67sqN0BMsViXJKgrAeFxXOGmm5g9X4OVndgxbY2BfmZYCAsU1FbaRZs6gIRm02rAEyA1OH4SZS_hF5KbjtFPSlBAscC48bvLsjkz9HP8OxSfVb46X_mmlfB18iPY2QaNG8W3KGYAw/s1600/akar-a-kuadrat.jpg)
Mari kita selesaikan dengan prinsip tersebut.
![Tahap penyelesaian limit mendekati tak hingga UN 2017 Tahap penyelesaian limit mendekati tak hingga UN 2017](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhREneyqF3kuwHX0iBituhBxYE3qWnrmNOCVrXPMR7kRt7smWF8p58MTC5WEjSDSfrswwsiD7us35_fdlghFHKQO3g043uG41dg9XvKDkzlqGUgu4169YgWhb5cMYuOIVAAT2W1nw6NWA/s1600/solusi-limit.jpg)
Bentuk di atas sudah baku. Berdasarkan bentuk baku tersebut diperoleh:
a = 4
b = 4
d = −12
Dengan demikian, hasil dari limit fungsi di atas adalah:
![Penyelesaian akhir limit mendekati tak hingga Penyelesaian akhir limit mendekati tak hingga UN 2017](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9XWAPpSJ58T5WYVjEX0FIKeJF2C6-EaELUCOI7H6MGV19Hcea_ng6-Ci-NHpeMCik0O578TmK2XvNoYjhaztUMlRyOKoN69EvNM7o57gIOrspCrKtxDvQSIfrotEeMIvBVspEMw3geg/s1600/solusi-limit2.jpg)
Jadi, nilai dari limit fungsi tersebut adalah 4 (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi.
Soal No. 20 tentang Limit Fungsi (bentuk pecahan akar)
Nilai
adalah ….
A. −1/2
B. −1/8
C. 1/8
D. 1/4
E. 1/2
![Limit fungsi pecahan bentuk akar Limit fungsi pecahan bentuk akar, soal Matematika UN 2017](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6G0NGAKgSGCB4-t0TJfqwgTyaVyDS8srXnL8uvDtuaVlmnkXATz0_D2skKSysRW08-9NabVH3nFv9CIznQaiSNqSph2JWmq-zclxzeCP7kWl8TI0NcIE4_9CzlglthGXWx_yuMbLz2w/s1600/limit-pecahan.jpg)
adalah ….
A. −1/2
B. −1/8
C. 1/8
D. 1/4
E. 1/2
Pembahasan
Limit fungsi berbentuk pecahan yang mengandung akar adalah dapat diselesaikan dengan mengalikan bilangan sekawan.![Mengalikan dengan bilangan sekawan dari pembilang Mengalikan dengan bilangan sekawan dari pembilang](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgglzqh9ifnoAKSanlaJeT8LPYxQMLoW9pycQX35JBDX9CElbkl7SsQPoOEWibp9cyboSipcdvvTGDlzTBYJsGJkT2T1H1w68ybBDPsFxs5HyGgzvVX2gerz5ozhWTehsRw3Ka-u5nNw/s1600/kali-sekawan.jpg)
Pembilang berbentuk (a − b)(a + b) yang dapat disederhanakan menjadi a2 − b2. Sementara itu, penyebutnya berbentuk kuadrat yang dapat difaktorkan.
![Hasil kali dengan bilangan sekawan Hasil kali dengan bilangan sekawan](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjp-dBVP2DjAMMhSoEvIFw2AV56H23XVSBYb7Jdbs1SrEMUul99G84D_VzgN1EgBV1F2W-xSAxa4KjzKkNCh6lxQwdLyzWrw7LJJNjll_fFhfb-bX2TJ6iBoL7RYmULHdiEhKCo5mHLiw/s1600/hasil-kali-sekawan2.jpg)
Pembilangnya harus kita upayakan agar saling meniadakan dengan salah faktor dari penyebut.
4 − (x + 2) = 4 − x − 2
= −x + 2
= −(x − 2)
Sehingga limit fungsi di atas bisa dilanjutkan menjadi:
![Bentuk akhir dari limit pecahan Bentuk akhir dari limit pecahan](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6IAcX3A5kPJcAD-0Q_VeDhKKaMXWwmU7amNYPn2eJwoIdmQrSpMsClpMcaWImm9Q751mqm00qz0BLEEX7j0lzH3RkQFf7NoTJCZKe7AxXH6v4jpe9W-zdL_Do7-pl7y_WY_egMhoxFw/s1600/bentuk-akhir.jpg)
Nah, ini bentuk terakhir dari limit tersebut. Sekarang kita substitusikan x = 2.
![Hasil akhir limit fungsi pecahan bentuk akar Hasil akhir limit fungsi pecahan bentuk akar, soal Matematika UN 2017](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHr4vS_BCsTBvugXtGTvRHsbcp4CklKkJ5OEL-AhsuF7Hp1V_0bvGmZMsMhrCKMYGrPiqHyZ44UDxnDIH4IWFcl7l9T67vB_2tbG25VPgiF74bKKM-PvTZ91V0F4ldvQ919lfSFFadag/s1600/hasil-akhir.jpg)
Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 1/8 (C).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi.
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2017 selengkapnya.
No. 01 - 05 | No. 21 - 25 |
No. 06 - 10 | No. 26 - 30 |
No. 11 - 15 | No. 31 - 35 |
No. 16 - 20 | No. 36 - 40 |
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
kak nomor 18 kok hasilnya bisa segitu?
ReplyDeleteKalau dihitung manual begini, Mas Astro:
Deleten = 7
a = 6
U7 = 384
a + 6b = 384
6 + 6b = 384
6b = 384 - 6 = 378
b = 378/6 = 63
Dengan demikian:
U1 = a = 6
U2 = 6+63 = 69
U3 = 69+63 = 132
U4 = 132+63 = 195
U5 = 195+63 = 258
U6 = 258+63 = 321
U7 = 321+63 = 384
Panjang tali semula = jumlah ketujuh potongan
= 6+69+132+195+258+321+384
= 1365
kak nomor 20 hasilnya bukannya -1 ya?
ReplyDeleteBisa dijelaskan Dik, kenapa haslnya -1?
DeleteKak itu di no 20, dari mana dapet x=2?
ReplyDeleteItu kan limit x mendekati 2. Sehingga setelah dijabarkan , kita bisa substitusi x = 2.
Delete