Pembahasan Matematika SMP UN 2014 No. 6

Pembahasan soal Matematika SMP Ujian Nasional 2014 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:

aritmetika sosial,
suku ke-n barisan aritmetika,
jumlah n suku pertama barisan aritmetika,
aplikasi deret aritmetika, dan
pemfaktoran bentuk aljabar.

Soal No. 6 tentang Aritmetika Sosial

Kakak menabung di bank sebesar Rp800.000,00 dengan suku bunga 9% setahun. Tabungan kakak saat diambil sebesar Rp920.000,00. Lama menabung adalah ....

A.   18 bulan
B.   20 bulan
C.   22 bulan
D.   24 bulan

Pembahasan

Besar bunga yang diperoleh kakak

Rp920.000,00 − Rp800.000,00 = Rp120.000,00

Persentase bunga per bulan

(9/12)%

Besar bunga adalah persentase bunga kali modal awal kali lama menabung

120.000 = (9/12)% × 800.000 × n
120.000 = 6.000n
n = 20

Jadi, lama kakak menabung di bank adalah 20 bulan (B).

Soal No. 7 tentang Suku ke-n Barisan Aritmetika

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan U₂ = 6 dan U₇ = 31. Suku ke-40 adalah ....

A.   206
B.   201
C.   200
D.   196

Pembahasan

Rumus suku ke-n untuk barisan aritmetika.

U_n = a + (n − 1)b

Berdasarkan rumus tersebut, untuk U₂ = 6 dan U₇ = 31 diperoleh:

U₂ = a + b   = 6
U₇ = a + 6b = 31
         ————— −
             −5b = −25
                  b = 5

Kita juga bisa mendapatkan nilai b dengan menggunakan cara berikut

(7 − 2)b = 31 − 6
         5b = 25
           b = 5

Angka 7 dan 2 kita ambil dari suku ke-2 dan ke-7, sedangkan angka 31 dan 6 adalah nilai dari suku-suku tersebut.

Untuk mendapatkan suku ke-n, kita juga bisa menggunakan rumus berikut ini.

U_n = U_k + (n − k)b

Dengan menggunakan rumus di atas, kita tidak perlu menentukan nilai a, cukup menggunakan data yang ada, yaitu U₂ atau U₇. Kita gunakan salah satu saja, yaitu U₂.

U₄₀ = U₂ + (40 − 2)b
       = 6 + 38 . 5
       = 6 + 190
       = 196

Jadi, suku ke-40 barisan aritmetika tersebut adalah 196 (D).

Soal No. 7 dari Paket Soal yang Lain

Diketahui barisan aritmetika dengan U₅ = 8 dan U₉ = 20. Suku ke-10 adalah ....

A. −31
B. −23
C. 23
D. 21

Jawab:

(9 − 5)b = 20 − 8
b = 3

U₁₀ = U₅ + (10 − 5)b
= 8 + 5 . 3 = 23 (C)

Suku ke-5 dan suku ke-7 dari barisan aritmetika adalah 23 dan 33. Suku ke-20 dari barisan tersebut adalah ....

A. 93
B. 98
C. 103
D. 108

Jawab:

(7 − 5)b = 33 − 23
b = 5

U₂₀ = U₅ + (20 − 5)b
= 23 + 15 . 5 = 98 (B)

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan U₅ = 7 dan U₈ = 13. Suku ke-20 adalah ....

A.   39
B.   37
C.   −37
D.   −39

Jawab:

(8 − 5)b = 13 − 7
           b = 2

U₂₀ = U₅ + (20 − 5)b
       = 7 + 15 . 2 = 37 (B)

Suku ketiga dan suku kelima dari barisan aritmetika adalah 17 dan 31. Suku ke-20 dari barisan tersebut adalah ....

A.   136
B.   144
C.   156
D.   173

Jawab:

(5 − 3)b = 31 − 17
           b = 7

U₂₀ = U₃ + (20 − 3)b
       = 17 + 17 . 7 = 136 (A)

Suku ke-5 dan suku ke-8 barisan aritmetika berturut-turut 14 dan 23. Suku ke-30 barisan tersebut adalah ....

A.   89
B.   87
C.   85
D.   80

Jawab:

(8 − 5)b = 23 − 14
           b = 3

U₃₀ = U₅ + (30 − 5)b
       = 14 + 25 . 3 = 89 (A)

Suku ke-5 dan suku ke-8 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 22. Suku ke-20 dari barisan tersebut adalah ....

A.   78
B.   60
C.   58
D.   57

Jawab:

(8 − 5)b = 22 − 13
           b = 3

U₂₀ = U₅ + (20 − 5)b
       = 13 + 15 . 3 = 58 (C)

Soal No. 8 tentang Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmetika

Dari barisan aritmetika diketahui U₃ = 18 dan U₇ = 38. Jumlah 24 suku pertama adalah ....

A.   786
B.   1.248
C.   1.572
D.   3.144

Pembahasan

Kita tentukan nilai b terlebih dahulu dengan cara seperti nomor 7.

(7 − 3)b = 38 − 18
         4b = 20
           b = 5

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan cara substitusi b = 5 ke U₃ = 18.

      U₃ = 18
a + 2b = 18
a + 10 = 18
         a = 8

Nah, sekarang kita sudah bisa menentukan S₂₄ dengan rumus

S_n = ½n[2a + (n − 1)b]
S₂₄ = 12[16 + 23 × 5]
       = 12 × 131
       = 1572

Jadi, jumlah 24 suku pertama barisan tersebut adalah 1.572 (C).

Soal No. 9 tentang Aplikasi Deret Aritmetika

Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah ....

A.   Rp7.500.000,00
B.   Rp8.000.000,00
C.   Rp52.500.000,00
D.   Rp55.000.000,00

Pembahasan

Soal tersebut adalah penerapan barisan aritmetika, hal ini bisa kita lihat dari kenaikan gaji yang selalu tetap setiap tahun. Berdasarkan soal tersebut kita dapat memperoleh data:

suku pertama     : a = 3.000.000
beda                  : b = 500.000
banyaknya suku : n = 10

Sedangkan yang ditanyakan adalah jumlah uang yang diterima selama 10 tahun atau S₁₀. Sesuai dengan data yang ada, kita gunakan rumus

S_n = ½n[2a + (n − 1)b]
S₁₀ = 5[6.000.000 + 9 × 500.000]
       = 5 × 10.500.000
       = 52.500.000

Jadi, jumlah uang yang diterima oleh pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah Rp52.500.000,00 (C).

Soal No. 9 dari Paket Soal yang Lain

Dalam sebuah aula terdapat 25 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya bertambah 3 kursi dari kursi di depannya. Jika aula itu memuat 8 baris kursi maka banyak kuris dalam aula adalah ....

A. 284 kursi
B. 264 kursi
C. 216 kursi
D. 208 kursi

Jawab:

S_n = ½n[2a + (n − 1)b]
S₈ = 4 [2×25 + 7×3]
= 4 × 71
= 284 (A)

Banyak kursi pada baris pertama sebuah gedung pertunjukan adalah 20 kursi, baris kedua 23 kursi, dan seterusnya sehingga banyak kursi baris berikutnya selalu bertambah 3 kursi. Jika dalam gedung tersebut terdapat 20 baris kursi maka jumlah kuris pada gedung tersebut adalah ....

A. 270 kursi
B. 970 kursi
C. 1.000 kursi
D. 1.003 kursi

Jawab:

S_n = ½n[2a + (n − 1)b]
S₂₀ = 10 [2×20 + 19×3]
= 10 × 97
= 970 (B)

Dalam ruang sidang terdapat 15 baris kursi. Baris paling depan terdapat 23 kursi, baris berikutnya 2 kursi lebih banyak dari baris di depannya. Jumlah kursi dalam ruang sidang tersebut adalah ....

A.   555 kursi
B.   385 kursi
C.   1.110 kursi
D.   1.140 kursi

Jawab:

S_n = ½n[2a + (n − 1)b]
S₁₅ = ½ 15 [2×23 + 14×2]
       = ½ × 15 × 74
       = 555 (A)

Seorang kontraktor bangunan berencana membuat ruko dengan menggunakan tiang-tiang beton. Satu ruko memerlukan 12 tiang beton, 2 ruko memerlukan 20 tiang beton, 3 ruko memerlukan 28 tiang beton, dan seterusnya. Jika kontraktor bangunan membuat 11 ruko maka banyak tiang beton adalah ....

A. 572 batang
B. 520 batang
C. 450 batang
D. 102 batang

Jawab:

S_n = ½n[2a + (n − 1)b]
S₁₁ = ½ 11 [2×12 + 10×8]
= ½ × 11 × 104
= 572 (A)

Sebuah besi dipotong menjadi 5 bagian sehingga membentuk barisan aritmetika. Jika panjang besi terpendek 1,2 m dan terpanjang 2,4 m maka panjang besi sebelum dipotong adalah ....

A.   7,5 m
B.   8 m
C.   8,2 m
D.   9 m

Jawab:

S_n = ½n(a + U_n)
S₅ = ½ 5(1,2 + 2,4)
      = ½ × 5 × 3,6
      = 9 (D)

Amir mempunyai kawat yang dipotong menjadi 5 bagian yang ukurannya membentuk barisan aritmetika. Jika panjang kawat terpendek 15 cm dan terpanjang 23 cm maka panjang kawat sebelum dipotong adalah ....

A.   85 cm
B.   90 cm
C.   95 cm
D.   100 cm

Jawab:

S_n = ½n(a + U_n)
S₅ = ½ 5(15 + 23)
      = ½ × 5 × 38
      = 95 (C)

Soal No. 10 tentang Pemfaktoran Bentuk Aljabar

Perhatikan pemfaktoran berikut ini!

(i) 15x²y − 20xy² = 5xy(3x − 4y)
(ii) p² − 16 = (p − 4)(p − 4)
(iii) 3a² + 8a − 3 = (3a − 1)(a + 3)

Pemfaktoran yang benar adalah ....

A.   (i), (ii)
B.   (i), (iii)
C.   (ii), (iii)
D.   (i), (ii), (iii)

Pembahasan

(i) Pemfaktoran dengan faktor persekutuan

15x²y − 20xy²

Kedua suku mengandung faktor 5xy sehingga diperoleh

15x²y − 20xy² = 5xy(3x − 4y)

(ii) Pemfaktoran bentuk a² − b²

a² − b² = (a − b)(a + b)
p² − 16 = p² − 4²
= (p − 4)(p + 4)

(iii) Pemfaktoran bentuk ax² + bx + c

3a² + 8a − 3 = (a − 1/3)(a + 9/3)
= (3a − 1)(a + 3)

Jadi, pemfaktoran yang benar adalah (i) dan (iii) (B).

Soal No. 10 dari Paket Soal yang Lain

Dari hasil pemfaktoran berikut:

(1)   14x² + 7y = 7(2x² + y)
(2)   x² − 25 = (x − 25)(x − 1)
(3)   3x² + 5x − 12 = (3x − 4)(x + 3)

Pernyataan yang benar adalah ....

A. (1) dan (2)
B. (2) dan (3)
C. (1) dan (3)
D. (1), (2), dan (3)

Jawab:

Pernyataan (2) salah, seharusnya

x² − 25 = x² − 5²
             = (x − 5)(x + 5)

Pernyataan (1) dan (3) benar (C).

Perhatikan bentuk pemfaktoran berikut.

(1) x² + xy − 2y² = (x + y)(x − 2y)
(2) 16x² − 25y² = (4x + 5y)(4x − 5y)
(3) 3x² + 4x − 4 = (x + 2)(3x − 2)

Jawab:

Pernyataan (1) salah, seharusnya

x² + xy − 2y² = (x − y)(x + 2y)

Pernyataan (2) dan (3) benar (B).

Perhatikan pernyataan di bawah ini.

(i)   5x² − 3xy = x(5x − 3y)
(ii) a² − 4 = (a − 2)(a − 2)
(iii) 3x² + 7x − 6 = (3x − 2)(x + 3)

Pada pemfaktoran bentuk di atas, yang benar adalah ....

A.   (i) dan (iii)
B.   (i) dan (ii)
C.   (ii) dan (iii)
D.   (ii) saja

Jawab:

Pernyataan (ii) salah, seharusnya

a² − 4 = a² − 2²
          = (a − 2)(a + 2)

Pernyataan (i) dan(iii) benar (A).

Perhatikan pernyataan di bawah ini!

i x² − 9x = x(x − 9)
ii x² − 9 = (x − 3)(x − 3)
iii 3x² − 11x + 10 = (3x − 5)(x − 2)

Hasil pemfaktoran di atas yang benar adalah ....

A. i dan ii
B. i dan iii
C. ii dan iii
D. i, ii, dan iii

Jawab:

Pernyataan ii salah seharusnya

x² − 9 = x² − 3²
= (x − 3)(x + 3)

Pernyataan i dan iii benar (B).

Perhatikan pemfaktoran berikut ini!

i 9ab + 21ac = 3a(3b + 7c)
ii x² − 9 = (x − 3)(x − 3)
iii 3p² − p − 2 = (3p + 2)(p − 1)

Pemfaktoran tersebut yang benar adalah ....

A. i, ii
B. i, iii
C. ii, iii
D. i, ii, iii

Jawab:

Pernyataan ii salah seharusnya

x² − 9 = x² − 3²
= (x − 3)(x + 3)

Pernyataan i dan iii benar (B).

Perhatikan pernyataan di bawah ini!

(i) 2a² − 3ab = a(2a − 3b)
(ii) x² − 9 = (x − 3)(x − 3)
(iii) 2x² + 2x − 12 = (2x − 4)(x + 3)

Dari pemfaktoran bentuk di atas yang benar adalah ....

A. (i) dan (ii)
B. (ii) dan (iii)
C. (i) dan (iii)
D. (iii) saja

Jawab:

Pernyataan (ii) salah seharusnya

x² − 9 = x² − 3²
= (x − 3)(x + 3)

Pernyataan (i) dan (iii) benar (C).

Simak Pembahasan Soal Matematika SMP UN 2014 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 23
No. 06 - 10	No. 24 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Tuesday 19 January 2016