Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 26

Pembahasan soal Matematika UN 2014 program studi IPA nomor 26 sampai dengan nomor 30 tentang:

rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus,
limit fungsi aljabar,
limit fungsi trigonometri,
aplikasi turunan, serta
integral substitusi.

Soal No. 26 tentang Trigonometri (Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus)

Nilai cos 265° − cos 95° = ....

A.   −2
B.   −1
C.   0
D.   1
E.   2

Pembahasan

Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

cos A − cos B = −2sin ½(A+B) sin ½(A−B)

Berdasarkan rumus di atas, diperoleh:

cos 265° − cos 95°
= −2 sin ½(265 + 95) sin ½(265 − 95)
= −2 sin 180° . sin 85°
= 0 (sin 180° = 0)

Jadi, Nilai dari cos 265° − cos 95° sama dengan nol (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri.

Soal No. 27 tentang Limit Fungsi Aljabar

Nilai dari

$Limit fungsi aljabar bentuk akar$

adalah ....

A.   −1
B.   −⅖
C.   ⅘
D.   1
E.   8/5

Pembahasan

Limit fungsi aljabar jenis ini harus diubah dulu ke bentuk:

$Limit aljabar bentuk akar$

Hasil dari limit di atas adalah:

$Rumus cepat limit fungsi aljabar bentuk akar$

Berdasarkan bentuk tersebut, dapat diperoleh a = 25, b = 18, dan c = 2.

Sementara itu, nilai d dan e belum bisa kita peroleh. Kedua nilai tersebut akan kita dapatkan setelah melakukan sedikit manipulasi terhadap bentuk −5x − 1.

$-5x-1=-(5x+1)$
$-5x-1=-\sqrt{(5x+1)^{2}}=-\sqrt{25x^{2}+10x+1}$

Sehingga d = 10 dan e = 1.

Dengan demikian hasilnya adalah:

$\frac{b-d}{2\sqrt{a}}=\frac{18-10}{2\sqrt{25}}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah ⅘ (C).

Soal No. 28 tentang Limit Fungsi Trigonometri

Nilai dari

$Limit fungsi trigonometri$

adalah ....

A.   −8
B.   0
C.   1
D.   2
E.   4

Pembahasan

Langkah pertama adalah mengubah bentuk kosinus menjadi sinus.

cos 2x = 1 − 2 sin² x
2 sin² x = 1 − cos 2x

Sehingga bentuk limit tersebut menjadi:

$\lim_{x\rightarrow 0}=\frac{2\sin^{2} x}{x\tan x}$

Limit fungsi trigonometri mendekati nol berlaku:

x = sin x = tan x

Nah, sekarang ubahlah sin x dan tan x menjadi x

$\lim_{x\rightarrow 0}=\frac{2x^{2}}{x\cdot x}=2$

Jadi, nilai dari limit fungsi tersebut adalah 2 (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi.

Soal No. 29 tentang Aplikasi Turunan

Diketahui fungsi g(x) = ⅓x³ − A²x + 2, A = konstanta. Jika f(x) = g(2x − 1) dan f naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, nilai minimum relatif g adalah ....

A. −8/3
B. −4/3
C. 0
D. 4/3
E. 8/3

Pembahasan

Langkah pertama kita tentukan dulu fungsi f.

f(x) = g(2x − 1)
f(x) = ⅓(2x − 1)³ − A²(2x − 1) + 2

f naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, artinya f' = 0 saat x = 0 atau x = 1. Bingung kan? Maksudnya begini, kita diminta menurunkan fungsi f kemudian disamadengankan nol. Setelah itu kita diminta melakukan substitusi x = 0 atau x = 1 untuk mendapatkan nilai A².

                         f' = 0
2(2x − 1)² − 2A² = 0
                       A² = (2x − 1)²

x = 0    → A² = (2.0 − 1)² = 1
x = 1    → A² = (2.1 − 1)² = 1

Nilai A² ini kita gunakan untuk mendapatkan fungsi g. Dengan melakukan substitusi A² = 1, kita peroleh fungsi g berikut ini.

g(x) = ⅓x³ − A²x
= ⅓x³ − x + 2

Nilai maksimum atau minimum terjadi saat turunan suatu fungsi sama dengan nol. Jadi, g minimum terjadi saat g' = 0.

      g' = 0
x² − 1 = 0
      x² = 1
        x = ±1

Terdapat dua nilai x, yaitu +1 dan −1. Berarti yang satu menghasilkan g maksimum, satunya lagi menghasilkan g minimum. Mari kita periksa.

g(−1) = −⅓ + 1 + 2 = 8/3 (maksimum)
g(1) = ⅓ − 1 + 2 = 4/3    (minimum)

Jadi, nilai minimum relatif fungsi g adalah 4/3 (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem.

Soal No. 30 tentang Integral Substitusi

Hasil dari

$Soal integral substitusi$

adalah ....

$Hasil integral substitusi opsi A$
$Hasil integral substitusi opsi B$
$Hasil integral substitusi opsi C$
$Hasil integral substitusi opsi D$
$Hasil integral substitusi opsi E$

Pembahasan

Pelan-pelan saja mengerjakan soal integral, tidak perlu terburu-buru. Coba pindah dulu penyebutnya ke atas sehingga pangkatnya menjadi negatif.

∫ (3x − 2)(3x² − 4x + 5)⁻⁵ dx

Integral di atas mengandung dua fungsi, yaitu fungsi linear (3x − 2) dan fungsi (3x² − 4x + 5)⁻⁵. Pangkat x tertinggi dari kedua fungsi tersebut adalah 3x dan 3x². Selisih pangkat tertingginya 2 − 1 = 1. Inilah ciri integral substitusi, selisih pangkat tertingginya = 1.

Prinsip integral substitusi adalah:

$dx\rightarrow \frac{df(x)}{f'(x)}$

dengan f(x) = 3x² − 4x + 5 (dipilih karena berpangkat lebih tinggi) dan f'(x) = 6x − 4 (turunan dari f(x)). Dengan demikian, integral di atas menjadi:

$Integral substitusi$

(6x − 4) adalah 2 kali dari (3x − 2) sehingga dapat dicoret menjadi

½∫ (3x² − 4x + 5)⁻⁵ d(3x² − 4x + 5)

Integral ini bentuknya sama dengan ½∫ a⁻⁵ da sehingga diperoleh

½(−¼) (3x² − 4x + 5)⁻⁴ + C
$-\frac{1}{8(3x^{2}-4x+5)^{4}}+C$

Jadi, hasil dari integral tersebut adalah opsi (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Aljabar.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2014 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Friday 6 November 2015