Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 31

Pembahasan soal Matematika UN 2014 program studi IPA nomor 31 sampai dengan 35 tentang:

integral tentu fungsi aljabar,
integral tentu fungsi trigonometri,
integral tak tentu fungsi trigonometri,
luas daerah, serta
volume benda putar.

Soal No. 31 tentang Integral Tentu Fungsi Aljabar

Nilai dari

$Integral tentu, tertentu, integral batas$

adalah ....

A. −5
B. −1
C. 1
D. 2
E. 3

Pembahasan

Sebelum diintegralkan, dua faktor yang ada dalam integral tersebut dikalikan dulu, menjadi:

$\int_{-1}^{2}(3x^{2}-2x-1)\, \, dx$

Kalau bentuknya sudah seperti di atas, baru diintegralkan. Diperoleh:

$x^{3}-x^{2}-x]_{-1}^{2}$

Sekarang substitusikan x = 2 dan x = −1 per suku, seperti berikut ini.

[2³ − (−1)³] − [2² − (−1)²] − [2 − (−1)]
= (8 + 1) − ( 4 − 1) − (2 + 1)
= 3

Jadi, nilai dari integral tersebut adalah 3 (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Aljabar.

Soal No. 32 tentang Integral Tentu Fungsi Trigonometri

Nilai dari

$Integral tentu fungsi trigonometri$

adalah ....

A. ½√2
B. ½
C. 0
D. −½
E. −½√3

Pembahasan

Gunakan rumus perkalian sinus dan kosinus untuk mengerjakan soal di atas.

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A − B)
2 cos 3x cos x = cos 4x + cos 2x

Sehingga bentuk integral tersebut menjadi:

$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(\cos 4x+\cos 2x)\, dx$
$=\frac{1}{4}\sin 4x+\frac{1}{2}\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi }{4}}$

Hasilnya cukup dengan substitusi x = ¼π karena substitusi x = 0 akan menghasilkan nol.

= ¼ sin 4.¼π + ½ sin 2.¼π
= ¼ sin 180° + ½ sin 90°
= 0 + ½ = ½

Jadi, nilai dari integral fungsi trigonometri tersebut adalah ½ (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Trigonometri.

Soal No. 33 tentang Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Hasil ∫ sin³4x . cos 4x dx = ....

A. −1/16 sin⁴ 4x + C
B. −⅛ sin⁴ 4x + C
C. ¼ sin⁴ 4x + C
D. ⅛ sin⁴ 4x + C
E. 1/16 sin⁴ 4x + C

Pembahasan

Ini adalah integral substitusi fungsi trigonometri. dx disubstitusikan dengan d(sin 4x) karena fungsi sinus pada integral di atas berpangkat lebih tinggi daripada fungsi kosinus. Dalam substitusi ini pangkat 3 dari fungsi sinus tidak perlu diikutkan.

$\int \sin ^{3}4x\, \cos 4x\, \, \frac{d\left (\sin 4x \right )}{4\cos 4x}$
$\frac{1}{4}\int \sin ^{3}4x\, \, d\left (\sin 4x \right )$
$=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\sin^{4}4x+C$
$=\frac{1}{16}\sin^{4}4x+C$

Jadi, tinggi hasil dari integral tersebut adalah opsi (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Trigonometri.

Soal No. 34 tentang Luas Daerah

Perhatikan gambar berikut ini!

Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus ....

$A.\, \, \, \int_{0}^{8}2x\, \, dx-\int_{4}^{8}(x+4)\, \, dx$
$B.\, \, \, \int_{0}^{8}2x\, \, dx+\int_{4}^{8}(x-4)\, \, dx$
$C.\, \, \, \int_{0}^{8}\sqrt{2x}\, \, dx-\int_{4}^{8}(x+4)\, \, dx$
$D.\, \, \, \int_{0}^{8}\left (\sqrt{2x}-x+4 \right )\, \, dx$
$E.\, \, \, \int_{0}^{4}\sqrt{2x}\, \, dx-\int_{4}^{8}(\sqrt{2x}-x+4)\, \, dx$

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut ini!

Luas daerah arsiran adalah luas daerah antara garis, kurva, dan sumbu x

Untuk menentukan luas daerah yang diarsir seperti gambar pada soal, kita harus membagi daerah arsiran tersebut menjadi dua bagian. Bagian pertama terletak pada interval 0 ≤ x ≤ 4. Luas daerah dalam interval ini merupakan integral y₂. Bagian yang kedua terletak pada interval 4 ≤ x ≤ 8. Luas daerah dalam interval ini merupakan integral y₂ - y₁.

$L=L_{I}+L_{II}$
$L=\int_{0}^{4}y_{2}\, dx+\int_{4}^{8}(y_{2}-y_{1})\, dx$
$L=\int_{0}^{4}\sqrt{2x}\, dx+\int_{4}^{8}(\sqrt{2x}-x+4)\, dx$

Jadi, luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan dengan rumus pada opsi (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Luas Daerah [Aplikasi Integral].

Soal No. 35 tentang Volume Benda Putar

Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = −√3x², sumbu x, di dalam lingkaran x² + y² = 4, dan diputar mengelilingi sumbu x adalah ....

A.   80/15 π satuan volume
B.   68/15 π satuan volume
C.   64/15 π satuan volume
D.   34/15 π satuan volume
E.   32/15 π satuan volume

Pembahasan

Langkah pertama adalah menentukan titik potong antara kurva dan lingkaran. Titik potong ini berguna untuk menentukan batas integrasi integral yang diinginkan. Kita substitusikan persamaan kurva pada persamaan lingkaran.

x² + y² = 4
x² + (−√3x²)² = 4
3x⁴ + x² − 4 = 0
(3x² + 4)(x² − 1) = 0
x² = −4/3 (TM) atau
x² = 1 → x = ±1

TM artinya tidak memenuhi, hal ini karena hasil kuadrat tidak mungkin bernilai negatif. Sekarang kita perhatikan gambar berikut ini!

Volume benda putar antara kurva dan lingkaran, diputar terhadap sumbu x

Daerah arsiran yang berwarna biru adalah daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu x, dan lingkaran. Daerah inilah yang akan diputar 360° terhadap sumbu x.

Coba perhatikan! Daerah sebelah kiri dan kanan sumbu y luasnya sama. Karena itu, kita cukup mengintegralkan daerah sebelah kanan saja kemudian dikalikan 2.

Volume benda putar diperoleh dengan mengintegralkan kuadrat dari fungsi kurva dan lingkaran dengan memperhatikan intervalnya. Pada interval 0 ≤ x ≤ 1, volume benda putar merupakan integral dari kuadrat fungsi kurva, y² =3x⁴. Sedangkan pada interval 1 ≤ x ≤ 2, volume benda putar merupakan integral dari fungsi lingkaran y² = 4 − x².

$V=2\pi \left [ \int_{0}^{1}3x^{4}dx+\int_{1}^{2}\left ( 4-x^{2} \right ) dx\right ]$
$V=2\pi\left [ \frac{3}{5}x^{5}|_{0}^{1}+\left ( 4x-\frac{1}{3}x^{3} \right )|_{1}^{2} \right ]$
$V=2\pi\left [\frac{3}{5}(1-0)+4(2-1)-\frac{1}{3}(8-1)\right ]$
$V=2\pi\left (\frac{3}{5}+4-\frac{7}{3} \right )$
$V=2\pi\cdot \frac{34}{15}=\frac{68}{15}\pi$

Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah 68/15 π satuan volume (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Volume Benda Putar [Aplikasi Integral].

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2014 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

2 comments:

rohmanjunior28 February 2019 at 09:25
mau nanya no 35,rumus volume 2π kali integralnya,nah itu saya belum paham kak,terus Integral 0 sampai 1 3x⁴ kenapa tidak-√3x²???

Maaf, komentar yang tidak berhubungan dengan konten, banyak mengandung singkatan kata, atau mengandung link aktif, tidak kami tayangkan.

Komentar Anda akan kami moderasi sebelum kami tayangkan. Centang 'Notify me' agar Anda mendapat pemberitahuan lewat email bahwa komentar Anda sudah ditayangkan

Saturday, 7 November 2015