Pembahasan Matematika IPA UN: Program Linear

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Program Linear.

Soal Program Linear UN 2015

Seorang pedagang kue akan membuat dua jenis kue. Setiap kue A menggunakan modal Rp2.000,00 dan dijual mempunyai keuntungan Rp1.000,00 per buah, sedang untuk kue B menggunakan modal Rp3.000,00 dan dijual memperoleh keuntungan Rp1.500,00 per buah. Modal yang tersedia adalah Rp1.200.000,00 dan paling banyak hanya dapat membuat 500 kue setiap hari. Jika kue tersebut terjual habis, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang kue tersebut adalah ….

A.   Rp500.000,00
B.   Rp600.000,00
C.   Rp650.000,00
D.   Rp700.000,00
E.   Rp750.000,00

Pembahasan

Tabel bantuan untuk soal di atas:

	Kue A (x)	Kue B (y)	500
Modal	2.000 2	3.000 3	1.200.000 1.200
Keuntungan	1.000	1.500	?

Model matematika yang dapat diperoleh dari tabel bantuan tersebut adalah: 

x + y = 500         ... (1)
2x + 3y = 1.200  ... (2) 
z = 1.000x + 1.500y

Mari kita eliminasi persamaan (2) dan (1). Persamaan (1) kita kalikan dengan 2 agar mempunyai koefisien x yang sama dengan persamaan (2).

2x + 3y = 1.200
2x + 2y = 1.000
——————— − 
          y = 200

Selanjutnya kita substitusikan y = 200 ke persamaan (1).

    x + y = 500 
x + 200 = 500
          x = 500 − 200
             = 300

Dengan demikian nilai z adalah:

z = 1.000x + 1.500y
  = 1.000 × 300 + 1.500 × 200
  = 300.000 + 300.000
  = 600.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang kue tersebut adalah Rp600.000,00 (B).

Soal Program Linear UN 2013

Luas daerah parkir 1.760 m². Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil besar 20 m². Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah ....

A.   Rp176.000,00
B.   Rp200.000,00
C.   Rp260.000,00
D.   Rp300.000,00
E.   Rp340.000,00

Pembahasan

Tabel bantuan untuk soal di atas:

	Mobil Kecil (x)	Mobil Besar (y)	200
Luas Parkir	4 1	20 5	1.760 440
Biaya Parkir	1.000	2.000	?

Model matematika berdasarkan tabel bantuan tersebut adalah: 

x + y = 200    ... (1) 
x + 5y = 440  ... (2) 
z = 1.000x + 2.000y

Eliminasi persamaan (2) dan (1) diperoleh: 

x + 5y = 440 
x +   y = 200
—————— −
       4y = 240
         y = 60

Kemudian kita substitusikan y = 60 ke persamaan (1).

  x + y = 200 
x + 60 = 200
        x = 140

Dengan demikian nilai z adalah:

z = 1.000x + 2.000y
   = 1.000 × 140 + 2.000 × 60
   = 140.000 + 120.000
   = 260.000

Jadi, penghasilan maksimum tempat parkir tersebut adalah Rp260.000,00 (C).

Soal Program Linear UN 2012

Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00 maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang tersebut adalah ….

A.   Rp13.400.000,00
B.   Rp12.600.000,00
C.   Rp12.500.000,00
D.   Rp10.400.000,00
E.   Rp8.400.000,00

Pembahasan

Tabel bantuan untuk soal di atas:

	Sepeda Gunung (x)	Sepeda Balap (y)	25
Modal	1.500.000 3	2.000.000 4	42.000.000 84
Keuntungan	500.000	600.000	?

Model matematika berdasarkan tabel bantuan tersebut adalah:

x + y = 25     ... (1)
3x + 4y = 84 ... (2)
z = 500.000x + 600.000y

Kita eliminasikan persamaan (1) dan (2). Persamaan (1) kita kalikan dulu dengan 4 agar mempunyai koefisien x yang sama dengan persamaan (2).

4x + 4y = 100
3x + 4y =   84
——————— −
          x = 16

Selanjutnya kita substitusikan x = 16 ke persamaan (1).

  x + y = 25
16 + y = 25
        y = 9

Dengan demikian, nilai z adalah:

z = 500.000x + 600.000y
  = 500.000 × 16 + 600.000 × 9
  = 8.000.000 + 5.400.000
  = 13.400.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diterima pedagang tersebut adalah Rp13.400.000,00 (A).

Soal Program Linear UN 2011

Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet jenis I Rp4.000,00 per biji dan tablet jenis II Rp8.000,00 per biji maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah ….

A.   Rp12.000,00
B.   Rp14.000,00
C.   Rp16.000,00
D.   Rp18.000,00
E.   Rp20.000,00

Pembahasan

Tabel bantuan untuk soal di atas:

	Tablet Jenis I (x)	Tablet Jenis II (y)
Vitamin A	5 1	10 2	25 5
Vitamin B	3	1	5
Harga	4.000	8.000	?

Model matematika berdasarkan tabel bantuan tersebut adalah: 

x + 2y = 5   ... (1)
3x + y = 5   ... (2) 
z = 4.000x + 8.000y

Kita eliminasikan persamaan (1) dan (2) dengan mengalikan persamaan (1) dengan 3 terlebih dahulu.

3x + 6y = 15
3x +   y =   5
—————— −
        5y = 10
          y = 2

Selanjutnya kita substitusikan y = 2 ke persamaan (1).

  x + 2y = 5 
x + 2×2 = 5
    x + 4 = 5
          x = 1

Dengan demikian nilai z adalah: 

z = 4.000x + 8.000y
  = 4.000×1 + 8.000×2
  = 4.000 + 16.000
  = 30.000 20.000

Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah Rp20.000,00 (E).

Soal Program Linear UNAS 2009

Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak berjualan sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut-turut Rp9.000.000,00 dan Rp8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut-turut Rp10.300.000,00 dan Rp9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan yang maksimum, banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli Pak Mahmud adalah ….

A.   11 sapi dan 4 kerbau
B.   4 sapi dan 11 kerbau
C.   13 sapi dan 2 kerbau
D.   0 sapi dan 15 kerbau
E.   7 sapi dan 8 kerbau

Pembahasan

Tabel bantuan untuk soal di atas:

	Sapi (x)	Kerbau (y)	15
Harga Beli	9.000.000 9	8.000.000 8	124.000.000 124
Harga Jual	10.300.000	9.200.000

Model matematika berdasarkan tabel bantuan tersebut adalah:

  x +   y =   15  ... (1)
9x + 8y = 124  ... (2)

Kita eliminasikan persamaan (2) dan (1) dengan mengalikan persamaan (1) dengan 8 terlebih dahulu.

9x + 8y = 124
8x + 8y = 120
——————— − 
          x = 4

Kemudian kita substitusikan x = 4 ke persamaan (1). 

x + y = 15
4 + y = 15 
      y = 11

Jadi, banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli Pak Mahmud agar mencapai keuntungan maksimum adalah 4 sapi dan 11 kerbau (B).

Pembahasan soal Program Linear yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 13
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 14
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 8
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 14 dan 15
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 9
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 4
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 5

Simak juga,
Sistem Pertidaksamaan Linear [Soal UN dan Pembahasan]
Pembahasan Matematika IPA UN: Sistem Persamaan Linear

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.