Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 1 - 5

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2016 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 1 sampai dengan nomor 5 tentang:

• perpangkatan, 
• bentuk akar, 
• logaritma, 
• pertidaksamaan logaritma, dan 
• persamaan kuadrat.

Soal No. 1 tentang Perpangkatan

Nilai dari

adalah ....

A.   8/3
B.   10/3
C.   14/3
D.   16/3
E.   20/3

Pembahasan

Kita kerjakan per suku saja supaya agak santai.

(125)^2/3 = (5³)^2/3
             = 5²
             = 25

(25)^1/2 = (5²)^1/2
           = 5¹
           = 5

(81)^1/4 = (3⁴)^1/4
           = 3¹
           = 3

(27)^1/3 = (3³)^1/3
           = 3¹
           = 3

Dengan demikian, bentuk bilangan berpangkat tersebut dapat disederhanakan menjadi:

Jadi, nilai dari perpangkatan tersebut adalah 10/3 (B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perpangkatan.

Soal No. 2 tentang Bentuk Akar

Bentuk sederhana dari

adalah ....

A.   ¾√30 + √10
B.   ¾√30 + ¾√10
C.   ¾√30 − ¾√10
D.   ¾√10 − ¾√30
E.   −¾√10 − ¾√30 

Pembahasan

Langkah pertama adalah mengalikan pembilang dan penyebut bentuk akar tersebut dengan bilangan sekawan dari penyebut, yaitu √2 − √6.

Pada perkalian di atas, bagian pembilang langsung bisa dikalikan, sedangkan bagian penyebut harus mengingat rumus:

(a + b)(a − b) = a² − b²

sehingga diperoleh:

Jadi, bentuk sederhana dari bentuk akar tersebut adalah ¾√10 − ¾√30 ¾√30 − ¾√10 (DC).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Bentuk Akar.

Soal No. 3 tentang Logaritma

Nilai dari

 

adalah ....

A.   121/4
B.   81/4
C.   25/4
D.   6
E.   1/2

Pembahasan

Kita ubah angka-angka yang terlalu besar ke dalam bentuk pangkat, seperti:

27 = 3³
81 = 3⁴
8 = 2³
4 = 2²

Sehingga bentuk logaritma tersebut menjadi:

Selanjutnya kita gunakan rumus-rumus logaritma berikut ini untuk menyelesaikannya. 

^alog xⁿ   = n ^alog x 
^amlog xⁿ = n/m ^alog x

Dengan demikian, diperoleh:

Dengan memanfaatkan rumus: 

^alog a = 1 
^alog b . ^blog a  = ^alog a

diperoleh:

Jadi, nilai dari bentuk logaritma tersebut adalah 121/4 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Logaritma.

Soal No. 4 tentang Pertidaksamaan Logaritma

Nilai x yang memenuhi

 ^1/3log (x + √3) + ^1/3log (x − √3) > 0

adalah ....

A.   x < −√3 atau 0 < x < 2
B.   −2 < x < −√3 atau √3 < x < 2
C.   √3 < x < 2
D.   −2 < x < 2
E.   −√3 < x < 2

Pembahasan

Langkah pertama adalah mengubah bilangan 0 menjadi bentuk logaritma (0 = log 1).

^1/3log (x + √3) + ^1/3log (x − √3) > ^1/3log 1

Kemudian kita gunakan rumus [log a + log b = log ab] untuk menyederhanakan bentuk.

^1/3log [(x + √3)(x − √3)] > ^1/3log 1

Selanjutnya kita sederhanakan lagi dengan memanfaatkan rumus [(a + b)(a − b) = a² − b²].

^1/3log (x² − 3) > ^1/3log 1

Nah, kalau bentuk sudah seperti di atas, kita tinggal coret saja logaritmanya. Tapi ingat, karena bilangan pokoknya 1/3 maka tanda pertidaksamaannya harus diubah.

           x² − 3 < 1
           x² − 4 < 0
(x + 2)(x − 2) < 0

Karena tanda pertidaksamaannya '<' maka hasil penyelesaian bentuk kuadrat tersebut berada di antara −2 dan 2.

−2 < x < 2  ... (1)

Meskipun hasil ini ada di opsi jawaban, jangan terkecoh. Ini belum selesai. Soal pertidaksamaan logaritma mengandung syarat yang harus diperhitungkan.

Ingat, bilangan yang di-log harus positif. Sehingga syaratnya adalah: 

x + √3 > 0
         x > −√3  ... (2) 

x − √3 > 0
         x > √3    ... (3)

Penyelesaian akhirnya, kita buat garis bilangan dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3).

Jadi, nilai x dari pertidaksamaan logaritma tersebut adalah √3 < x < 2 (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma.

Soal No. 5 tentang Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat x² − (p + 3)x + 12 = 0 mempunyai akar-akar α dan β. Jika α = 3β, nilai p yang memenuhi adalah ....

A.   5 dan −11
B.   −5 dan 11
C.   5 dan 11
D.   −5 dan 6
E.   5 atau 6

Pembahasan

Berdasarkan pertidaksamaan di atas diketahui: 

a = 1 
b = −(p + 3) 
c = 12

Kita gunakan rumus penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat.

  α.β = c/a
3β.β = 12
    β² = 4
      β = ±2

  α + β = −b/a
3β + β = p + 3
      4β = p + 3
        p = 4β − 3

Substitusi β = ±2 diperoleh: 

p = 4 × 2 − 3
   = 8 − 3
   = 5 

p = 4 × (−2) − 3
   = −8 − 3
   = −11

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 5 dan −11 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan dan Fungsi Kuadrat.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2016 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.