Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 31 - 35

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2016 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 31 sampai dengan nomor 35 tentang:

• integral parsial, 
• integral tentu, 
• integral substitusi trigonometri, 
• integral substitusi aljabar, dan 
• aplikasi integral (luas daerah).

Soal No. 31 tentang Integral Parsial

Hasil dari ∫ x(3x − 5)⁴ dx = ....

A.   −1/54 (1 + 3x) (3x − 5)⁵ + C
B.   −1/108 (1 − 3x) (3x − 5)⁵ + C
C.   −1/270 (1 + 3x) (3x − 5)⁵ + C
D.   1/108 (1 − 3x) (3x − 5)⁵ + C
E.   1/54 (1 + 3x) (3x − 5)⁵ + C

Pembahasan

Jenis integral pada soal di atas adalah integral parsial. Cirinya, pangkat x di luar dan di dalam kurung adalah sama (untuk integral fungsi aljabar).

Metode penyelesaian integral parsial yang paling mudah adalah metode Tanzalin. Pertama, kita pisahkan menjadi 2 fungsi. Fungsi yang sederhana kita turunkan sedangkan fungsi yang lebih rumit kita integralkan. Perhatikan bagan berikut!

Hasil dari integral tersebut adalah perkalian miring sebagaimana yang ditunjukkan oleh garis biru. Perkalian pertama dikalikan positif sedangkan yang kedua dikalikan negatif. Diperoleh:

Sampai di sini hasil integral parsial di atas sudah selesai. Namun hasil tersebut tidak ada pada opsi jawaban. Berarti dibutuhkan kemampuan aljabar untuk menguraikan hasil tersebut agar sesuai dengan bentuk yang tersedia pada pilihan jawaban.

Coba perhatikan hasil integral di atas. Suku pertama mengandung (3x − 5)⁵ dan suku kedua (3x − 5)⁶. Sehingga masing-masing bisa dikeluarkan (3x − 5)⁵.

Jadi, hasil dari integral parsial tersebut adalah opsi (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Aljabar.

Soal No. 32 tentang Integral Tentu

Nilai dari  ₋₁∫¹ (2x² − 4x + 3) dx = ....

A.   22/3
B.   6
C.   16/3
D.   4
E.   4/3

Pembahasan 

Integral di atas sebenarnya integral biasa, cuma diberi batas sehingga hasilnya adalah angka tertentu (tidak mengandung variabel dan konstanta integrasi C). Oleh karena itu, integral tersebut sering disebut integral batas atau integral tentu.

Proses integralnya sangat mudah, tetapi harus hati-hati dan teliti saat memasukkan batas. Apalagi jika melibatkan batas-batas negatif. Berikut ini langkah-langkahnya.

Cukup mudah bukan? Sekarang kita masukkan batas-batasnya. Kak Ajaz lebih suka memasukkan batas-batas per suku. Artinya, setiap suku langsung dimasukkan batas x = 1 dan x = −1.

Jadi, hasil dari integral tentu tersebut adalah 22/3 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Aljabar. 

Soal No. 33 tentang Integral Substitusi Trigonometri

Hasil dari  ∫ sin² 2x cos 2x dx = ....

A.   −1/2 sin³ 2x + C
B.   −1/4 sin³ 2x + C
C.   −1/6 sin³ 2x + C
D.   1/6 sin³ 2x + C
E.   1/4 sin³ 2x + C

Pembahasan

Integral pada soal di atas termasuk integral substitusi. Cara cukup mudah.

Integral di atas terdiri dari 2 fungsi, yaitu fungsi sinus dan kosinus. Yang mempunyai pangkat lebih tinggi adalah fungsi sinus, maka gantilah dx dengan d(sin 2x) [tanpa pangkat]. Kemudian bagilah dengan turunan dari sin 2x.

Jadi, hasil dari integral fungsi trigonometri tersebut adalah opsi (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Trigonometri.

Soal No. 34 tentang Integral Substitusi Aljabar

Hasil dari

adalah ....

Pembahasan

Integral di atas juga termasuk integral substitusi. Cirinya, pangkat x tertinggi dari kedua fungsi berselisih 1.

Caranya juga mudah. Pertama, ubah dulu fungsi akar menjadi fungsi pangkat.

Kedua, ubah dx menjadi d(x² − 3x − 5) [tanpa pangkat] kemudian bagi dengan turunannya.

Jadi, hasil dari integral substitusi fungsi aljabar tersebut adalah opsi (C).

Soal No. 35 tentang Aplikasi Integral (luas daerah)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x − x²,  y = x² − 6x, garis x = 0, dan x = 4 adalah ....

A.   27⅔ satuan luas
B.   32⅓ satuan luas
C.   37⅓ satuan luas
D.   39⅔ satuan luas
E.   41⅓ satuan luas

Pembahasan

Misalkan kurva yang pertama adalah  y₁ = 4x − x². Kurva y₁ adalah parabola terbuka ke bawah (koefisien x²-nya negatif) dan memotong sumbu x di x = 0 dan x = 4 (cari dengan rumus y₁ = 0).

Sedangkan kurva kedua, y₂ = x² − 6x, adalah kurva parabola terbuka ke atas serta memotong sumbu x di x = 0 dan x = 6.

Perhatikan gambar daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut serta garis x = 0 dan x = 4.

Berdasarkan grafik di atas, luas daerah yang diarsir dibatasi oleh garis x = 0 dan x = 4. Posisi y₁ lebih atas daripada y₂. Sehingga luas daerah tersebut dirumuskan:

L = ₀∫⁴ (y₁ − y₂) dx
   = ₀∫⁴ [(4x − x²) − (x² − 6x)] dx
   = ₀∫⁴ (10x − 2x²) dx

Hasil dari integral tersebut adalah:

Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 37⅓ satuan luas (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Luas Daerah [Aplikasi Integral].

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2016 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.