Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2016 Kode Naskah 225

Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2016 Kode Naskah 225 nomor 1 sampai dengan nomor 5 tentang:

• geometri, 
• segitiga trigonometri, 
• persamaan trigonometri, 
• transformasi geometri, dan 
• dimensi tiga.

Soal No. 1 tentang Geometri

Diketahui persegi dengan panjang sisi 12 dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas seperti pada gambar.

Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ….

A.   9√2
B.   13
C.   15
D.   9√3
E.   16

Pembahasan

Konsep dasar untuk memahami soal ini adalah:

Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.

Perhatikan gambar di bawah ini!

Pandang layang-layang OBCF!

CB dan CF adalah garis singgung lingkaran. Karena keduanya berangkat dari titik yang sama maka panjang keduanya juga sama.

CF = CB = 12

Pandang layang-layang OAEF!

EA dan EF adalah garis singgung lingkaran. Anggap saja panjang EF = x, maka:

EA = EF = x

Sehingga panjang CE adalah:

CE = CF + EF
      = 12 + x

Nah, kita tinggal menentukan nilai x.

Sekarang pandang segitiga CDE! Segitiga CDE adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema Pythagoras.

                  CE² = CD² + DE²
          (12 + x)² = 12² + (12 − x)²
144 + 24x + x² = 144 + 144 − 24x + x²
                  48x = 144
                      x = 3

Dengan demikian,

CE = 12 + x
      = 12 + 3
      = 15

Jadi, panjang CE adalah 15 (C).

Soal No. 2 tentang Segitiga Trigonometri

Segitiga ABC siku-siku di B. Titik D terletak pada sisi BC sedemikian hingga CD = 2BD. Jika ∠DAB = 30° maka besar sudut CAD adalah ….

A.   15°
B.   20°
C.   30°
D.   45°
E.   50°

Pembahasan

Pertama yang harus dipahami adalah maksud dari CD = 2BD.

Variabel a di atas hanya permisalan. Anda bisa menggunakan variabel x, y, atau yang lain.

Perhatikan ilustrasi untuk soal di atas!

Padang segitiga ABD!

Dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan √3, diperoleh:

AB = a√3

Sekarang padang segitiga ABC!

Dengan demikian ∠CAD adalah:

∠CAD = ∠BAC − ∠DAB
            = 60° − 30°
            = 30°

Jadi, sudut CAD adalah 30° (C).

Soal No. 3 tentang Persamaan Trigonometri

Diketahui 2 sin² ⁡t − 2 sin ⁡t = 1 − csc ⁡t dengan 0 < t <2π, t ≠ π. Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah ….

A.   2
B.   3
C.   4
D.   5
E.   6

Pembahasan

Mungkin yang agak asing adalah fungsi csc⁡ t. Apa itu csc⁡ t?

csc⁡ t = cosec ⁡t
        = 1/(sin ⁡t)

Sehingga persamaan trigonometri di atas dapat diubah menunjukkan:

2 sin² ⁡t − 2 sin ⁡t = 1 − csc ⁡t
2 sin² ⁡t − 2 sin ⁡t = 1 − 1/(sin ⁡t)

Kalikan masing-masing suku dengan sin ⁡t.

2 sin³ ⁡t − 2 sin² ⁡t = sin ⁡t − 1
2 sin³ ⁡t − 2 sin² ⁡t − sin ⁡t + 1 = 0

Ternyata membentuk suku banyak berderajat tiga. Sebaiknya kita selesaikan dengan cara Horner.

Berdasarkan metode di atas diperoleh:

sin ⁡t = 1
      t = 90°

Hasil bagi dari cara Horner tersebut (warna biru) adalah:
2     0    −1             yang berarti:
2 sin²⁡ t − 1 = 0
       2 sin²⁡ t = 1
          sin²⁡ t = ½
            sin⁡ t = ±½√2

Sampai di sini sebenarnya jawaban sudah bisa ditebak.

Coba perhatikan! Untuk interval 0 < t < 2π, sin⁡ t = 1 hanya ada 1 nilai, sin⁡ t = ½√2 dan sin⁡ t = −½√2 masing-masing mempunyai 2 nilai. Sehingga total nilai t adalah 5.

Baiklah, agar pembahasan lebih panjang, kita selesaikan satu per satu.

sin⁡ t = ½√2     (ada di kuadran I dan II)
    t₁ = 45°
    t₂ = (180 − 45)°
        = 135°

sin⁡ t = −½√2    (ada di kuadran III dan IV)
    t₁ = (180 + 45)°
        = 225°
    t₂ = (360 − 45)°
        = 315°

Dengan demikian himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah:

{45°, 90°, 135°, 225°, 315°}

Jadi, banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah 5 (D).

Soal No. 4 tentang Transformasi Geometri

Jika pencerminan titik P(s, t) terhadap garis x = a yang dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = b menghasilkan translasi    maka a + b = ….

A.   s + t + 20
B.   2s + t + 10
C.   s + t + 10
D.   s + 2t + 10
E.   s + t + 5

Pembahasan

Pencerminan titik P(x, y) terhadap garis x = h dan y = k masing dirumuskan sebagai:

Berpedoman pada rumus di atas, pencerminan titik P(s, t) terhadap garis x = a adalah:

Hasil dari pencerminan tersebut dicerminkan lagi terhadap garis y = b. Diperoleh:

Hasil pencerminan yang terakhir ini sama dengan translasi terhadap titik P(s, t).

Sehingga diperoleh hubungan:

2a − s = s + 10
      2a = 2s + 10
        a = s + 5

2b − t = t + 10
      2b = 2t + 10
        b = t + 5

Dengan demikian,

a + b = (s + 5) + (t + 5)
          = s + t + 10

Jadi, nilai dari a + b adalah s + t + 10 (C).

Soal No. 5 tentang Dimensi Tiga

Diketahui kubus ABCD.EFGH. titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga AM : MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara bidang MNP dan garis PB maka nilai cos ⁡α = ….

A.   5/44 √44
B.   5/33 √33
C.   5/22 √22
D.   1/13 √13
E.   1/11 √11

Pembahasan

Gambaran kubus yang dimaksud adalah sebagai berikut:

Anggap saja rusuk kubus tersebut adalah 3a (untuk mempermudah penghitungan) sehingga:

AM = CN = PH = a
MD = ND = DP = 2a

Segitiga MNP adalah segitiga sama sisi dengan panjang rusuk (pandang segitiga MDP):

MP = √(MD² + DP²)
       = √[(2a)² + (2a)²]
       = 2a√2

PQ adalah tinggi segitiga sama sisi MNP. Tinggi segitiga sama sisi dirumuskan:

    t = ½√3 × rusuk segitiga
PQ = ½√3 × 2a√2
      = a√6

BD adalah diagonal alas kubus yang dirumuskan:

BD = rusuk kubus × √2
       = 3a√2

Sedangkan BQ adalah 2/3 diagonal.

BQ = 2/3 × 3a√2
       = 2a√2

Sekarang tinggal menentukan panjang BP. Pandang segitiga BDP!

BP = √(BD² + DP² )
      = √[(3a√2)² + (2a)²]
      = √(18a² + 4a² )
      = a√22

Nah, semua rusuk segitiga BPQ sudah diketahui yang mana sudut α ada di dalamnya.

Kita gunakan aturan kosinus untuk mendapatkan nilai dari cos ⁡α.

Variabel a² bisa dicoret dan √132 = 2√33, sehingga diperoleh:

            

Jadi, nilai cos⁡ α adalah 5/33 √33 (B).

Simak Pembahasan Soal TKD Saintek SBMPTN 2016 selengkapnya.

No. 01 - 05 (Mat)	No. 31 - 35 (Kim)
No. 06 - 10 (Mat)	No. 36 - 40 (Kim)
No. 11 - 15 (Mat)	No. 41 - 45 (Kim)
No. 16 - 20 (Fis)	No. 46 - 50 (Bio)
No. 21 - 25 (Fis)	No. 51 - 55 (Bio)
No. 26 - 30 (Fis)	No. 56 - 60 (Bio)

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.