Pembahasan Matematika No. 11 - 15 TKD Saintek SBMPTN 2016 Kode Naskah 225

Pembahasan soal Matematika Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2016 kode naskah 225 nomor 11 sampai dengan nomor 15 tentang:

• integral tentu, 
• aplikasi integral: luas daerah, 
• probabilitas, 
• aplikasi turunan: garis singgung kurva, dan 
• fungsi kuadrat.

Soal No. 11 tentang Integral Tentu

Diketahui fungsi f(x) = f(x + 2) untuk setiap x. Jika ₀∫² f(x) dx = B maka ₃∫⁷ f(x + 8) dx = ….

A.   B
B.   2B
C.   3B
D.   4B
E.   5B

Pembahasan

Perhatikan pola fungsi pada soal di atas!

f(x) = f(x + 2)
f(x + 2) = f(x + 2 + 2) = f(x + 4)
f(x + 4) = f(x + 4 + 2) = f(x + 6)
f(x + 6) = f(x + 6 + 2) = f(x + 8)

Sehingga diperoleh:

f(x) = f(x + 2) = f(x + 4) = f(x + 6) = f(x + 8)

Lebih jelasnya,

f(x) = f(x + 8)

Sementara itu, disebutkan dalam soal:

₀∫² f(x) dx = B

Sekarang kita masuk ke pertanyaan.

₃∫⁷ f(x + 8) dx = ₃∫⁷ f(x) dx

Selanjutnya kita ubah batas integrasinya agar sesuai dengan data yang diketahui pada soal.

Jadi, nilai integral tentu tersebut adalah 2B (B).

Soal No. 12 tentang Aplikasi Integral: Luas Daerah

Diketahui fungsi f(x) = x^k dan g(x) = x. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva g, sumbu x dan x = 1. Kurva f membagi daerah D menjadi daerah D₁ dan D₂ dengan perbandingan luas 1 : 2. Jika D₁ adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g maka k = ….

A.   1/3
B.   2/3
C.   1
D.   2
E.   3

Pembahasan

Berikut ini adalah ilustrasi gambar untuk soal di atas!

D₁ adalah daerah yang dibatasi oleh garis g dan kurva f. Sedangkan D₂ adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f, sumbu x, dan garis x = 1.

Diketahui perbandingan luas D₁ dan D₂ adalah 1 : 2.

Masukan batas integrasi x = 1 saja. Batas x = 0 tidak perlu dimasukkan karena akan menghasilkan nol. Diperoleh:

Jadi, nilai k adalah 2 (D).

Soal No. 13 tentang Probabilitas

Banyaknya bilangan genap n = abc dengan 3 digit sehingga 3 < b < c adalah ….

A.   48
B.   54
C.   60
D.   64
E.   72

Pembahasan

Suatu bilangan dikatakan genap apabila posisi satuan bilangan tersebut adalah angka genap.

Pada soal di atas, posisi satuan adalah c. Sedangkan c harus lebih besar dari b dan b harus lebih besar dari 3. Sehingga nilai c yang mungkin hanya 6 dan 8.

Untuk c = 6, nilai b yang mungkin adalah 4 dan 5 (ada 2 kemungkinan).

Sedangkan untuk c = 8, nilai b yang mungkin adalah 4, 5, 6, dan 7 (ada 4 kemungkinan).

Sehingga banyak susunan a dan b yang mungkin ada 6 kemungkinan.

Sementara itu, posisi a bisa diisi semua angka kecuali 0 (nol) karena nol di depan akan menghasilkan bilangan 2 digit. Nilai a yang mungkin adalah:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ada 9 kemungkinan)

Dengan demikian, banyak bilangan genap yang dapat disusun adalah:

9 × 6 = 54

Jadi, banyak bilangan genap n adalah 54 (B).

Soal No. 14 tentang Aplikasi Turunan: Garis Singgung Kurva

Garis singgung kurva y = 3 − x² di titik P(−a, b) dan Q(a, b) memotong sumbu y di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ….

A.   2√3
B.   √3
C.   1/2 √3
D.   1/3 √3
E.   1/4 √3

Pembahasan

Soal di atas dapat diilustrasikan dengan gambar berikut ini!

Agar segitiga PQR sama sisi maka tiap sudutnya harus 60°. Sehingga kemiringan atau gradien garis singgung kurva (garis biru) di titik P adalah:

m = tan⁡ 60°
    =√3

Garis singgung tersebut juga merupakan turunan pertama dari kurva y = 3 − x².

m = y'
    = −2x

Nah, sekarang kita tinggal memasukkan m = √3 dan x = −a    (x di titik P).

 m = −2x
√3 = −2(−a)
2a = √3
  a = 1/2 √3

Jadi, nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah 1/2 √3 (C).

Soal No. 15 tentang Fungsi Kuadrat

Garis l adalah garis singgung sekutu parabola y = x² − 4x + 7 dan y = p − 3(x + 2)². Jika garis l menyinggung parabola y = x² − 4x + 7 di x = 5 maka p = ….

A.   −35
B.   −33
C.   −26
D.   −21
E.   −10

Pembahasan

Garis l menyinggung parabola y = x² − 4x + 7 di x = 5. Titik singgungnya dapat dicari dengan memasukkan x = 5 ke persamaan parabola.

y = 5² − 4 . 5 + 7
   = 12

Sehingga titik singgung antara garis l dan parabola tersebut adalah:

(x₁, y₁) = (5, 12)

Sedangkan gradien garis singgungnya merupakan turunan pertama dari fungsi parabola.

m = y'
    = 2x − 4

Dengan memasukkan x = 5 diperoleh:

m = 2∙5 − 4
    = 6

Dengan demikian, persamaan garis l dapat dicari dengan rumus:

y − y₁ = m(x − x₁)
y − 12 = 6(x − 5)
           = 6x − 30
        y = 6x − 18

Garis l juga menyinggung parabola y = p − 3(x + 2)² sehingga garis l disebut garis singgung sekutu.

Jika garis menyinggung parabola maka di titik singgungnya garis dan parabola tersebut bernilai sama dan diskriminannya sama dengan nol.

I.  y_garis = y_parabola
6x − 18 = p − 3(x + 2)²
             = p − 3(x² + 4x + 4)
             = −3x² − 12x − 12 + p
3x² + 18x − 6 − p = 0

II.                      D = 0
               b² − 4ac = 0
18² − 4∙3 (−6 − p) = 0
    324 + 72 + 12p = 0
                       12p = −396
                           p = −33

Jadi, nilai p adalah −33 (B).

Simak Pembahasan Soal TKD Saintek SBMPTN 2016 selengkapnya.

No. 01 - 05 (Mat)	No. 31 - 35 (Kim)
No. 06 - 10 (Mat)	No. 36 - 40 (Kim)
No. 11 - 15 (Mat)	No. 41 - 45 (Kim)
No. 16 - 20 (Fis)	No. 46 - 50 (Bio)
No. 21 - 25 (Fis)	No. 51 - 55 (Bio)
No. 26 - 30 (Fis)	No. 56 - 60 (Bio)

Simak juga:
Pembahasan Matematika SBMPTN 2014
Pembahasan Matematika SBMPTN 2015
Pembahasan Matematika SBMPTN 2017
Pembahasan Matematika SBMPTN 2018
Pembahasan Matematika UTBK SBMPTN 2019

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.