Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 21 - 25

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2013 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 21 sampai dengan nomor 25 tentang:

• barisan dan deret aritmetika, 
• barisan dan deret geometri, 
• dimensi tiga [jarak titik ke garis], 
• dimensi tiga [sudut antarbidang], serta 
• aturan sinus dan kosinus.

Soal No. 21 tentang Barisan dan Deret Aritmetika

Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-3 dan ke-6 berturut-turut adalah 30 dan 51. Jumlah 15 suku pertama barisan tersebut adalah ….

A.   625
B.   755
C.   975
D.   1.050
E.   1.150

Pembahasan

Suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan:

U_n = a + (n − 1)b

Berdasarkan rumus di atas maka:

U₃ = a + 2b = 30
U₆ = a + 5b = 51
       ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  −  [bawah dikurangi atas]
               3b = 21
                 b = 7

Selanjutnya b = 7 kita substitusikan ke U₃ untuk mendapatkan a.

   a + 2b = 30
a + 2 ∙ 7 = 30
   a + 14 = 30
           a = 16

Nah, sekarang kita sudah bisa menentukan S₁₅ melalui rumus:

S_n = n/2 [2a + (n − 1)b]
S₁₅ = 15/2 (2∙16 + 14∙7)
      = 15/2 (32 + 98)
      = 15/2 × 130
      = 975

Jadi, jumlah 15 suku pertama barisan tersebut adalah 975 (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Barisan dan Deret

Soal No. 22 tentang Barisan dan Deret Geometri

Hasil produksi suatu pabrik setiap tahunnya meningkat mengikuti aturan barisan geometri. Produksi pada tahun pertama sebanyak 200 unit dan pada tahun keempat sebanyak 1.600 unit. Hasil produksi selama enam tahun adalah ….

A.   6.200 unit
B.   6.400 unit
C.   12.400 unit
D.   12.600 unit
E.   12.800 unit

Pembahasan

Diketahui:

a = 200
U₄ = 1.600

Rasio barisan geometri tersebut adalah:

Jumlah 6 suku pertama adalah:

Jadi, Hasil produksi selama enam tahun adalah 12.600 unit (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Barisan dan Deret

Soal No. 23 tentang Dimensi Tiga [jarak titik ke garis]

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E ke garis AG adalah ….

A.   2√3 cm
B.   3√2 cm
C.   2√6 cm
D.   3√6 cm
E.   6√2 cm

Pembahasan

Perhatikan jarak yang dimaksud pada gambar berikut ini!

Segitiga AEG adalah segitiga siku-siku di E.

AE = rusuk kubus      = 6 cm
AG = diagonal ruang = 6√3 cm
EG = diagonal sisi     = 6√2 cm

Jarak E ke AG adalah EP yang dirumuskan sumbu:

Jadi, jarak titik E ke garis AG adalah 2√6 cm (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Jarak Titik, Garis, dan Bidang

Soal No. 24 tentang Dimensi Tiga [sudut antarbidang]

Nilai kosinus sudut antara bidang BDE dan bidang BDG seperti terlihat pada gambar prisma segi-4 ABCD.EFGH beraturan berikut adalah ….

A.   2/6
B.   3/6
C.   4/6
D.   7/9
E.   8/9

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut ini!

Segitiga EGP adalah segitiga sama kaki

EG = diagonal sisi = 4√2

EP = √(AE² + AP²), AP = 1/2 × diagonal sisi
      = √[8² + (2√2)²]
      = √(64 + 8)
      = √72
      = 6√2

Sudut θ bisa dicari dengan aturan kosinus segitiga sebagai berikut:

Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang BDE dan bidang BDG adalah 7/9 (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang

Soal No. 25 tentang Aturan Sinus dan Kosinus

Keliling segi-12 beraturan yang jari-jari lingkaran luarnya r cm adalah ….

A.   2r√(2 − √3) cm
B.   6r√(2−√3) cm
C.   12r√(2−√3) cm
D.   6r√(2+√3) cm
E.   12r√(2+√3) cm

Pembahasan

Perhatikan gambar segi-12 berikut ini!

Pada segi-12 terdapat 12 segitiga sama kaki yang identik. Besar sudut tiap segitiga tersebut adalah:

θ = 360°/12
   = 30°

Panjang sisi segi-12 dapat ditentukan dengan aturan kosinus segitiga sebagai berikut:

s² = r² + r² − 2 ∙ r ∙ r ∙ cos 30°
    = 2r² − 2r² ∙ 1/2 √3
    = 2r² − r² √3
    = r² (2 − √3)
 s = r√(2 − √3)

Keliling segi-12 adalah 12 kali sisi tersebut.

K = 12s
    = 12r√(2 − √3)

Jadi, keliling segi-12 beraturan yang jari-jari lingkaran luarnya r cm adalah 12r√(2 − √3) cm (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Aturan Sinus dan Kosinus

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2013 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.