Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 26 - 30

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2013 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 26 sampai dengan nomor 30 tentang:

• persamaan trigonometri, 
• rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus, 
• limit fungsi aljabar, 
• limit fungsi trigonometri, serta 
• aplikasi turunan.

Soal No. 26 tentang Persamaan Trigonometri

Nilai x memenuhi persamaan cos ⁡2x − sin ⁡x = 0 untuk 0° < x < 360° adalah ….

A.   {30°, 150°}
B.   {30°, 270°}
C.   {30°, 150°, 180°}
D.   {60°, 120°, 300°}
E.   {30°, 150°, 270°}

Pembahasan

Langkah pertama adalah mengubah cos⁡ 2x. Rumus cos⁡ 2x ada tiga:

1. cos ⁡2x = cos²⁡x − sin²⁡x
2. cos ⁡2x = 2cos²⁡x − 1
3. cos ⁡2x = 1 − 2sin²x

Karena suku kedua dari persamaan trigonometri pada soal di atas adalah sin ⁡x maka kita harus mengubah cos⁡ 2x menjadi bentuk yang hanya mengandung sin⁡ x, yaitu rumus yang ketiga.
Ok, mari kita selesaikan soal di atas!

             cos ⁡2x − sin ⁡x = 0
       1 − 2sin²x − sin ⁡x = 0
       2sin²x + sin ⁡x − 1 = 0
(2 sin⁡ x − 1)(sin⁡ x + 1) = 0
sin⁡ x = 1/2 atau sin⁡ x = −1

Untuk sin⁡ x = 1/2 berada di kuadran I dan II (positif)

• Kuadran I : sin⁡ x = sin 30°

                          x = 30°

• Kuadran II : sin⁡ x = sin⁡(180° − 30°)

                           x = 150°

Untuk sin⁡ x = −1 hanya ada satu nilai

sin⁡ x = sin 270°
      x = 270°

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri di atas adalah {30°, 150°, 270°} (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan Trigonometri

Soal No. 27 tentang Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus

Nilai dari

A.   −√3
B.   −1
C.   −⅓√3
D.   ⅓√3
E.   √3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita harus mengingat kembali dua rumus berikut ini:

cos⁡ A + cos ⁡B = 2cos⁡ ½(A + B) cos⁡ ½(A − B)
 sin⁡ A + sin ⁡B = 2sin ½(A + B) cos ½(A − B)〗

Berdasarkan rumus di atas maka:

Jadi, nilai dari bentuk trigonometri di atas adalah ⅓√3 (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri

Soal No. 28 tentang Limit Fungsi Aljabar

Nilai dari

lim_x→∞⁡ [(2x − 1) − √(4x² − 6x − 5)] = ⋯.

A.   4
B.   2
C.   1
D.   1/2
E.   1/4

Pembahasan

Bentuk limit di atas adalah:

Itu artinya, kita harus mengubah bentuk limit pada soal menjadi bentuk seperti di atas. Yang kita ubah adalah 2x − 1.

2x − 1 = √[(2x − 1)²)
           = √(4x² − 4x + 1)

Dengan demikian,

   lim_x→∞⁡ [(2x − 1) − √(4x² − 6x − 5)]
= lim_x→∞⁡ [√(4x² − 4x + 1) − √(4x² − 6x − 5)]

Diperoleh:

a = 4
b = −4
d = −6

Sehingga hasilnya adalah:

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar di atas adalah 1/2 (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi

Soal No. 29 tentang Limit Fungsi Trigonometri

Nilai dari

A.   −4
B.   −3
C.   0
D.   4
E.   ∞

Pembahasan

Limit trigonometri x → 0 berlaku:

sin ⁡x = tan ⁡x = x

Limit pada soal di atas adalah limit trigonometri x → −2 atau sama dengan x + 2 → 0 sehingga berlalu:

sin⁡(x + 2) = tan⁡(x + 2) = x + 2 = p

Kak Ajaz misalkan saja sama dengan p supaya lebih mudah memahami saat mengerjakan nanti. Ok, kita selesaikan sekarang.

Jadi, nilai dari limit fungsi trigonometri di atas adalah −4 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi

Soal No. 30 tentang Aplikasi Turunan

Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling (2x + 24) m dan lebar (8 − x) m. Agar luas taman maksimum maka panjang taman tersebut adalah ….

A.   4 m
B.   8 m
C.   10 m
D.   12 m
E.   13 m

Pembahasan

Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling (2x + 24) m.

K = 2x + 24
2(p + l) = 2x + 24
p + l = x + 12

Lebar taman adalah (8 − x) m. Kita substitusikan lebar taman ini pada persamaan di atas. Diperoleh:

p + 8 − x = x +12
            p = 2x + 4

Luas taman tersebut adalah:

L = p × l
   = (2x + 4)(8 − x)
   = 16x − 2x² + 32 − 4x
   = −2x² + 12x + 32

Agar luas taman maksimum maka turunan fungsi luas harus sama dengan nol.

           L' = 0
−4x + 12 = 0
           4x = 12
             x = 3

Dengan demikian, panjang taman adalah:

p = 2x + 4
   = 2 ∙ 3 + 4
   = 10

Jadi, panjang taman tersebut adalah 10 m (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem [Aplikasi Turunan]

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2013 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.