Pembahasan Matematika No. 11 - 15 TKA Saintek UTBK SBMPTN 2019

Pembahasan soal Matematika Saintek Tes Kompetensi Akademik Sains dan Teknologi (TKA Saintek) pada Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2019 nomor 11 sampai dengan nomor 15 tentang:

• barisan dan deret, 
• lingkaran, 
• vektor, 
• integral. dan 
• transformasi geometri.

Soal No. 11 tentang Barisan dan Deret

Suku pertama barisan aritmetika adalah a dengan beda 2a. Jika nilai U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ = 100 maka nilai U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + ⋯ + U₂₀ = ….

A.	1590
B.	1596
C.	1600
D.	1690
E.	1700

Pembahasan

Jumlah 5 suku pertama adalah 100.

U1 + U2 + U3 + U4 + U5	=	100
a + 3a + 5a + 7a + 9a	=	100
25a	=	100
a	=	4

Beda barisan tersebut adalah:

b	=	2a
	=	2 ∙ 4
	=	8

Untuk mencari nilai U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + ⋯ + U₂₀ sebaiknya kita gunakan rumus.

S_n = ½ n[2a + (n − 1)b]

Deret tersebut dimulai dari U₂ dan berakhir di U₂₀. Hitungannya sama saja dengan S₂₀ dikurangi U₁.

S20 − U1	=	½ ∙ n[2a + 19 ∙ b] − a
	=	½ ∙ 20[2 ∙ 4 + 19 ∙8] − 4
	=	10(8 + 152) − 4
	=	1600 − 4
	=	1596

Jadi, nilai dari U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + ⋯ + U₂₀ adalah 1596 (B).

Soal No. 12 tentang Lingkaran

Diketahui titik P(4, a) dan lingkaran L ∶ x² + y² − 8x − 2y + 1 = 0. Jika titik P berada di dalam lingkaran L, maka nila a yang mungkin adalah ….

A.	−1 < a < 3
B.	−3 < a < −1
C.	3 < a < 5
D.	1 < a < 3
E.	−3 < a < 5

Pembahasan

Karena titik P(4, a) berada di dalam lingkaran maka substitusi titik P ke persamaan lingkaran akan menghasilkan pertidaksamaan “<”.

x2 + y2 − 8x − 2y + 1	=	0
42 + a2 − 8∙4 − 2∙a + 1	<	0
16 + a2 − 32 − 2a + 1	<	0
a2 − 2a − 15	<	0
a2 + 3a − 5	<	0

Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah:

a = −3 atau a = 5

Karena tanda pertidaksamaannya “<” maka daerah penyelesaiannya berada di antara pembuat nol.

−3 < a < 5

Jadi, nila a yang mungkin adalah −3 < a < 5 (E).

Soal No. 13 tentang Vektor

Jika a = (x + 1)i + xj, b = 2xi + (3x +1)j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a. Jika |p| ≤ 2|a| maka nilai x yang memenuhi adalah ….

A.	x ≤ −1
B.	−2 ≤ x ≤ 1
C.	−1 ≤ x ≤ 2
D.	x > 2
E.	x > 1

Pembahasan

Panjang proyeksi vektor b  ke a  adalah:

Sementara itu diketahui bahwa:

Sehingga diperoleh:

Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah:

x = −1 dan x = 2

Karena tanda pertidaksamaannya “≤” maka hasil dari pertidaksamaan tersebut berada di antara pembuat nol.

−1 ≤  x ≤ 2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah −1 ≤  x ≤ 2 (C).

Soal No. 14 tentang Integral

Fungsi f(x) memenuhi f(x) = f(−x). Jika nilai

maka nilai dari

A.	1
B.	2
C.	3
D.	4
E.	6

Pembahasan

Fungsi yang memenuhi f(x) = f(−x) adalah fungsi genap. Kaidah yang berlaku untuk integral fungsi genap adalah sebagai berikut:

Ok, mari kita kerjakan dengan menyederhanakan data yang diketahui pada soal!

Dengan demikian,

Jadi, nilai dari integral tersebut adalah 2 (B).

Soal No. 15 tentang Transformasi Geometri

Garis y = 2x + 1 digeser sejauh a satuan ke kanan dan b satuan ke bawah, kemudian dicerminkan terhadap sumbu x sehingga bayangannya menjadi y = ax + b. Nilai dari a + b adalah ….

A.	−3
B.	−1/2
C.	1/2
D.	3
E.	4

Pembahasan

Misal titik A(x, y) digeser sejauh a satuan ke kanan dan b satuan ke bawah.

Kemudian titik A’ dicerminkan terhadap sumbu x.

Diperoleh:

x' = x + a	→	x = x' − a
y' = −y + b	→	y = y' + b

Dengan demikian bayangan dari garis y = 2x + 1 adalah:

y	=	2x + 1
y' + b	=	2(x' − a) + 1
y'	=	2x' − 2a + 1 − b

Jika disandingkan dengan bayangan yang disebutkan dalam soal maka:

y	=	ax + b
y	=	2x − 2a + 1 − b

Diperoleh:

a	=	2
b	=	−2a + 1 − b
2b	=	−2a + 1
2b	=	−2∙2 + 1
2b	=	−3
b	=	−3/2

Sehingga,

a + b	=	2 − 3/2
	=	1/2

Jadi, nilai dari a + b adalah 1/2 (C).

Simak Pembahasan Soal TKA Saintek UTBK SBMPTN 2019 selengkapnya.

No. 01 - 05 (Mat)	No. 41 - 45 (Kim)
No. 06 - 10 (Mat)	No. 46 - 50 (Kim)
No. 11 - 15 (Mat)	No. 51 - 55 (Kim)
No. 16 - 20 (Mat)	No. 56 - 60 (Kim)
No. 21 - 25 (Fis)	No. 61 - 65 (Bio)
No. 26 - 30 (Fis)	No. 66 - 70 (Bio)
No. 31 - 35 (Fis)	No. 71 - 75 (Bio)
No. 36 - 40 (Fis)	No. 76 - 80 (Bio)

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.