Pembahasan soal Matematika Saintek Tes Kompetensi Akademik Sains dan Teknologi (TKA Saintek) pada Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2019 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:
- fungsi kuadrat,
- trigonometri,
- logika matematika,
- aplikasi turunan, dan
- kaidah pencacahan.
Soal No. 6 tentang Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2px + p mempunyai nilai maksimum −p dengan p ≠ 0. Jika sumbu simetri kurva f adalah x = a maka nilai a + f(a) = ….
| A. | 6 |
| B. | 4 |
| C. | −4 |
| D. | −5 |
| E. | −6 |
Pembahasan
Sumbu simetri fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2px + p adalah:
Diketahui bahwa sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut adalah x = a sehingga:
a = −p
Fungsi kuadrat tersebut mempunyai nilai maksimum −p. Nilai maksimum terjadi saat x merupakan sumbu simetri. Sehingga:
| f(a) | = | −p |
| a2 + 2pa + p | = | −p |
| a2 + 2ap + 2p | = | 0 |
Substitusi a = −p ke persamaan di atas diperoleh:
| (−p)2 + 2(−p)p + 2p | = | 0 |
| p2 − 2p2 + 2p | = | 0 |
| −p2 + 2p | = | 0 |
| p2 − 2p | = | 0 |
| p(p − 2) | = | 0 |
p = 0 atau p = 2
Karena p ≠ 0 maka yang memenuhi adalah p = 2.
Dengan demikian,
| a + f(a) | = | −p + (−p) |
| = | −2p | |
| = | −2× 2 | |
| = | −4 |
Jadi, nilai dari a + f(a) adalah −4 (C).
Soal No. 7 tentang Trigonometri
Jika sin (40° + x) = a untuk 0° < x < 45° maka cos (70° + x) = ….
Pembahasan
Segitiga trigonometri untuk sin (40° + x) = a adalah:
Selanjutnya kita gunakan rumus jumlah dua sudut.
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Agar memenuhi rumus di atas dengan sudut yang sudah diketahui maka perlu dilakukan pengubah sebagai berikut:
70° + x = 30° + (40° + x)
Sudut 30° merupakan sudut istimewa dan sudut 40° + x sudah kita tentukan di atas. Sehingga:
Jadi, nilai dari cos (70° + x) adalah opsi (B).
Soal No. 8 tentang Logika Matematika
Nilai x yang menyebabkan pernyataan “Jika x2 + 2x = 8 maka x2 + 5x < 11” bernilai salah adalah ….
| A. | −4 |
| B. | −2 |
| C. | 1 |
| D. | 2 |
| E. | 4 |
Pembahasan
Misalkan:p ∶ x2 + 2x = 8
q ∶ x2 + 5x < 11
Pernyataan di atas adalah pernyataan implikasi:
p ⇒ q (baca: jika p maka q)
Tabel kebenaran untuk pernyataan implikasi adalah:
Berdasarkan tabel kebenaran di atas, pernyataan implikasi p ⇒ q akan bernilai salah jika pernyataan p benar dan q salah.
Ok, mari kita selesaikan! Kita mulai dari pernyataan p.
| x2 + 2x | = | 8 |
| x2 + 2x − 8 | = | 0 |
| (x + 4)(x − 2) | = | 0 |
Sekarang kita substitusikan nilai x tersebut ke pernyataan q. Kita tentukan mana nilai x yang menyebabkan pernyataan q bernilai salah.
q ∶ x2 + 5x < 11
Untuk x = −4
| (−4)2 + 5×(−4) | < | 11 |
| 16 − 20 | < | 11 |
| −4 | < | 11 [benar] |
Untuk x = 2
| 22 + 5×2 | < | 11 |
| 4 + 10 | < | 11 |
| 14 < 11 | < | 11 [salah] |
Jadi, nilai x yang menyebabkan pernyataan tersebut bernilai salah adalah 2 (D).
Soal No. 9 tentang Aplikasi Turunan
Garis singgung kurva f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 5 di titik x = a dan x = a + 1 adalah sejajar. Jarak kedua garis singgung kurva tersebut adalah ….
| A. | 1/√37 |
| B. | 2/√37 |
| C. | 3/√37 |
| D. | 4/√37 |
| E. | 5/√37 |
Pembahasan
Gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari fungsi kurva.f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 5
| m | = | f' (x) |
| = | 6x2 + 6x + 6 |
Misal m1 adalah gradien garis singgung di x = a. Sedangkan m2 adalah gradien garis singgung di x = a + 1. Karena kedua garis singgung tersebut sejajar maka:
| m1 | = | m2 |
| 6a2 + 6a + | = | 6(a + 1)2 + 6(a + 1) + |
| 6a2 + | = | 6(a2 + 2a + 1) + |
| = | ||
| 0 | = | 12a + 12 |
| −12 | = | 12a |
| a | = | −1 |
Dengan demikian, gradien kedua garis singgung tersebut adalah (kita ambil salah satu, misal m1):
| m1 | = | 6a2 + 6a + 6 |
| = | 6×(−1)2 + 6×(−1) + 6 | |
| = | 6 − 6 + 6 | |
| = | 6 |
Titik singgung garis 1 adalah:
| x | = | a |
| = | −1 |
| y | = | f(−1) |
| = | 2×(−1)3 + 3×(−1)2 + 6×(−1) + 5 | |
| = | −2 + 3 − 6 + 5 | |
| = | 0 |
∴ (−1, 0)
Sedangkan titik singgung garis 2 adalah:
| x | = | a + 1 |
| = | −1 + 1 | |
| = | 0 |
| y | = | f(0) |
| = | 2×03 + 3×02 + 6×0 + 5 | |
| = | 5 |
∴ (0, 5)
Persamaan kedua garis singgung tersebut adalah:
Garis 1:
| y − y1 | = | m(x − x1) |
| y + 0 | = | 6(x + 1) |
| 6x − y + 6 | = | 0 [a = 6, b = −1, c = 6] |
Garis 2:
| y − y1 | = | m(x − x1) |
| y − 5 | = | 6(x − 0) |
| 6x − y + 5 | = | 0 [a = 6, b = −1, d = 5] |
Jarak antara dua garis sejajar ax + by + c = 0 dengan ax + by + d = 0 dirumuskan:
Jadi, jarak kedua garis singgung kurva tersebut adalah opsi (A).
Soal No. 10 tentang Kaidah Pencacahan
Ita, Ani, dan Rini beserta 4 orang teman mereka akan membuat barisan dengan syarat mereka bertiga (Ita, Ani, dan Rini) tidak berdampingan. Banyak barisan yang dapat dibuat adalah ….
| A. | 5!×3! |
| B. | 6!×(3!)2 |
| C. | 5!×(3!)2 |
| D. | 4!×(3!)2 |
| E. | 2!×3!×4! |
Pembahasan
7 orang (Ita, Ani, Rini, dan 4 teman) akan membuat barisan (tanpa syarat).
Jika 3 orang (Ita, Ani, Rini) selalu berdampingan maka 3 orang tersebut dianggap 1 orang sehingga:
Dengan demikian banyak barisan yang dapat dibuat oleh 7 orang tersebut dengan syarat Ita, Ani, dan Rini tidak berdampingan adalah:
| A − B | = | 7! − 5! × 3! |
| = | 7 × 6 × 5! − 5! × 3 × 2 × 1 | |
| = | 7 × 6 × 5! − 5! × 6 | |
| = | 5! × 6 × (7 − 1) | |
| = | 5! × 6 × 6 | |
| = | 5! × 62 |
Bila diperhatikan langkah di atas, 3! = 6, sehingga hasilnya adalah:
A - B = 5!×(3!)2
Jadi, banyak barisan yang dapat dibuat adalah 5!×(3!)2 (C).
Simak Pembahasan Soal TKA Saintek UTBK SBMPTN 2019 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
No comments:
Post a Comment
Maaf, komentar yang tidak berhubungan dengan konten, banyak mengandung singkatan kata, atau mengandung link aktif, tidak kami tayangkan.
Komentar Anda akan kami moderasi sebelum kami tayangkan. Centang 'Notify me' agar Anda mendapat pemberitahuan lewat email bahwa komentar Anda sudah ditayangkan