Pembahasan Matematika IPS UN 2014 No. 11

Pembahasan soal Matematika IPS Ujian Nasional 2014 nomor 11 sampai dengan nomor 15 tentang:

invers fungsi,
sifat akar persamaan kuadrat,
persamaan kuadrat baru,
pertidaksamaan kuadrat, dan
sistem persamaan linear.

Soal No. 11 tentang Invers Fungsi

Invers dari fungsi f(x) adalah f⁻¹(x). Jika diketahui

$f(x)=\frac{3x+2}{x-4},x\neq 4$

maka f⁻¹(x) = ....

$\textrm{A.}\; \; \; \frac{4x+2}{x-3},x\neq 3$
$\textrm{B.}\; \; \; \frac{3x+2}{x-3},x\neq 3$
$\textrm{C.}\; \; \; \frac{x-4}{3x+2},x\neq -\frac{3}{2}$
$\textrm{D.}\; \; \; \frac{4x-2}{3x-3},x\neq 1$
$\textrm{E.}\; \; \; \frac{2x-3}{x+4},x\neq -4$

Pembahasan

Penyelesaian yang paling praktis untuk soal di atas adalah dengan menggunakan rumus

$Rumus invers fungsi bentuk ax+b/cx+d$

Berdasarkan rumus di atas diperoleh

$f(x)=\frac{3x+2}{x-4}$

a = 3
b = 2
c = 1
d = −4

Dengan demikian, invers fungsi f(x) adalah:

$f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}=\frac{4x+2}{x-3}$

Jadi, invers dari fungsi tersebut adalah opsi (A).

Soal No. 12 tentang Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Jika α dan β akar-akar persamaan kuadrat 7x = 4x² + 3, nila α/β + β/α = ....

A.   12/25
B.   16/25
C.   20/25
D.   24/12
E.   25/12

Pembahasan

Kita ubah dulu bentuk persamaan kuadrat tersebut ke bentuk umumnya.

     7x = 4x² + 3
⇔ 4x² − 7x + 3 = 0

Diperoleh:

a = 4
b = −7
c = 3

Selanjutnya kita gunakan rumus penjumlahan dan perkalian akar.

α + β = −b/a
         = 7/4

α . β = c/a
         = 3/4

Nah, sekarang kita masuk ke pertanyaan.

$\frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }=\frac{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}{\alpha \beta }$
            $=\frac{\left (\alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta }{\alpha \beta }$
            $=\frac{\left (\frac{7}{4} \right )^{2}-2\cdot \frac{3}{4} }{\frac{3}{4} }$
            $=\frac{\frac{49}{16}- \frac{3}{2} }{\frac{3}{4} }$
            $=\frac{25}{16}\times \frac{4}{3}=\frac{25}{12}$

Jadi, nilai yang dimaksud adalah 25/12 (E).

Soal No. 13 tentang Persamaan Kuadrat Baru

Misalkan p dan q akar-akar persamaan kuadrat 2x² − 3x + 4 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2p − 1) dan (2q − 1) adalah ....

A. x² − x + 6 = 0
B. x² + x − 6 = 0
C. x² − 5x + 6 = 0
D. x² + 5x + 6 = 0
E. 2x² + x + 6 = 0

Pembahasan

Data yang ada pada soal adalah

a = 2
b = −3
c = 4

Penjumlahan dan perkalian akar-akarnya adalah

p + q = −b/a
         = 3/2

p . q = c/a
         = 4/2
         = 2

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat baru

B = 2p − 1 + 2q − 1
    = 2(p + q) − 2
    = 2 . 3/2 − 2
    = 1

C = (2p − 1)(2q − 1)
    = 4pq − 2p − 2q + 1
= 4pq − 2(p + q) + 1
    = 4 . 2 − 2 . 3/2 + 1
    = 8 − 3 + 1
    = 6

Persamaan kuadrat barunya adalah

x² − Bx + C = 0
x² − x + 6 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru dari persamaan kuadrat tersebut adalah opsi (A).

Soal No. 14 tentang Pertidaksamaan Kuadrat

Himpunan penyelesaian dari spasi pertidaksamaan x² − x − 20 ≤ 0 adalah ....

A. {x | x ≤ −5 atau x ≥ 4}
B. {x | x ≤ −4 atau x ≥ 4}
C. {x | −4 ≤ x ≤ 5}
D. {x | −4 ≤ x < 5}
E. {x | −5 ≤ x ≤ 4}

Pembahasan

Langkah pertama adalah memfaktorkan pertidaksamaan kuadrat tersebut.

x² − x − 20 ≤ 0
(x + 4)(x − 5) ≤ 0

Kemudian kita buat garis bilangan

−4 ≤ x ≤ 5

Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah ≤ maka daerah penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif (−).

Jadi, himpunan penyelesaian dari spasi pertidaksamaan tersebut adalah opsi (C).

Soal No. 15 tentang Sistem Persamaan Linear

Ditentukan x₁ dan y₁ memenuhi sistem persamaan linear 3x + 4y = 24 dan x + 2y = 10. Nila dari ½x₁ + 2y₁ = ....

A.   4
B.   6
C.   7
D.   8
E.   14

Pembahasan

Cara yang paling umum untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan cara eliminasi dan substitusi.

3x + 4y = 24 |×1|   3x + 4y = 24
x + 2y = 10 |×2| 2x + 4y = 20
                              ——————— −
                                          x = 4

x = 4 → x + 2y = 10
                 4 + 2y = 10
                 2y = 6
                 y = 3

Sekarang tinggal substitusi x = 4 dan y = 3 ke persamaan yang ditanyakan

½x₁ + 2y₁ = ½ . 4 + 2 . 3
                 = 2 + 6
                 = 8

Jadi, nilai yang dimaksud adalah 8 (D).

Simak Pembahasan Soal Matematika IPS UN 2014 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Saturday, 6 February 2016