Pembahasan Matematika IPS UN 2015 No. 6 - 10

Pembahasan soal Matematika IPS Ujian Nasional tahun 2015 nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:

• logaritma, 
• persamaan fungsi kuadrat, 
• grafik fungsi kuadrat, 
• fungsi komposisi, dan 
• invers fungsi.

Soal No. 6 tentang Logaritma

Jika ⁸log 5 = p maka ¹⁶log 10 = ....

A.   3p
B.   p³
C.   4(3p + 1)
D.   ¼ (3p + 1)
E.   ¼ (p + 3)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, bilangan-bilangan pada data yang diketahui harus diubah ke bentuk yang paling sederhana terlebih dahulu. 

    ⁸log 5 = p 
   ²³log 5 = p
⅓ ²log 5 = p 
     ²log 5 = 3p

Selanjutnya bilangan pada pertanyaan diubah ke bentuk yang mengandung angka 2 dan 5. 

¹⁶log 10 = ²⁴log 2×5
              = ¼ ²log 2×5
              = ¼ (²log 2 + ²log 5)
              = ¼ (1 + 3p)

Jadi, nilai dari ¹⁶log 10 adalah ¼ (3p + 1) (D).

Soal No. 7 tentang Persamaan Fungsi Kuadrat

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, −7) dan grafiknya melalui titik (0, −6) adalah ....

A.   y = x² − 2x − 6
B.   y = x² + 2x − 6
C.   y = x² + x − 6
D.   y = x² − x + 6
E.   y = x² + x + 6

Pembahasan

Titik balik, titik belok, titik puncak, titik maksimum/minimum, titik stasioner, titik ekstrem adalah orang yang sama, maksudnya nama lainnya.

Persamaan kuadrat yang melalui titik puncak (p, q) dirumuskan 

y = a(x − p)² + q

Mari kita gunakan rumus tersebut. Pada soal diketahui titik balik (1, −7), berarti p = 1 dan q = −7. 

y = a(x − p)² + q
   = a(x − 1)² − 7         .... (1)

Untuk mendapatkan nilai a, kita substitusikan titik yang dilaluinya, yaitu (0, −6), ke persamaan (1).

(0, −6) →    y = a(x − 1)² − 7
                   −6 = a(0 − 1)² − 7
                   −6 = a − 7
                      a = 1

Nah, sekarang tinggal substitusi a = 1 ke persamaan (1) 

a = 1 →    y = a(x − 1)² − 7
                    = 1(x − 1)² − 7
                    = x² − 2x + 1 − 7
                    = x² − 2x − 6

Jadi, persamaan fungsi kuadrat tersebut adalah y = x² − 2x − 6 (A).

Soal No. 8 tentang Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat y = −x² + 8x − 15 adalah ....

Pembahasan

Kita dapatkan dulu koefisien dari fungsi kuadrat y = −x² + 8x − 15. 

a = −1 
b = 8 
c = −15

Karena nilai a negatif  maka grafiknya terbuka ke bawah. Opsi jawaban yang mungkin adalah A, C, dan E. Untuk memastikan, kita uji dengan pembuat nol. 

                    y = 0
−x² + 8x − 15 = 0 
  x² − 8x + 15 = 0
 (x − 3)(x − 5) = 0 
  x = 3 atau x = 5

Dengan demikian, grafik tersebut memotong sumbu x di (3, 0) dan (5, 0). Jawabannya sudah pasti opsi A.

Namun agar pembahasannya lebih panjang, mari kita cari unsur-unsur yang lain.

Sumbu simetri 

x = −b/2a
   = −8/2(−1)
   = 4

Sumbu simetri juga merupakan nilai tengah dari pembuat nol.

x = ½ (3 + 5)
   = ½ . 8
   = 4

Nilai balik diperoleh dengan memasukkan nilai sumbu simetri ke fungsi kuadrat 

x = 4 →    y = −x² + 8x − 15
                     = −4² + 8.4 − 15
                     = −16 + 32 − 15
                     = 1

Dengan adanya sumbu simetri dan nilai balik, sekarang kita tahu bahwa grafik fungsi kuadrat tersebut mempunyai titik puncak (4, 1).

Nah, panjang kan?

Jadi, grafik fungsi kuadrat tersebut ditunjukkan oleh opsi (A).

Soal No. 9 tentang Fungsi Komposisi

Diketahui fungsi f(x) = 5x − 2 dan g(x) = (2x + 3)/(3x − 5) untuk x ≠ 5/3. Nilai fungsi komposisi (f o g)(2) adalah ....

A.   7
B.   9
C.   15
D.   33
E.   35

Pembahasan

Kita tentukan g(2) dulu. 

g(x) = (2x + 3)/(3x − 5) 
g(2) = (2.2 + 3)/(3.2 − 5)
         = 7/1
         = 7

Sekarang perhatikan, apa yang dimaksud dengan (f o g)(2).

(f o g)(2) = f[g(2)]    
               = f(7)           g(2) = 7
               = 5.7 − 2      f(x) = 5x − 2
               = 35 − 2
               = 33

Jadi, nilai fungsi komposisi tersebut adalah 33 (D).

Soal No. 10 tentang Fungsi Invers

Jika



maka invers fungsi f(x) adalah ....

Pembahasan

Kita gunakan rumus berikut ini untuk menyelesaikan soal di atas.



Sementara itu, dari soal di atas kita peroleh 

a = 1 
b = 1 
c = 2 
d = −4

Berpedoman pada rumus di atas, diperoleh


            

Jadi, invers dari fungsi f adalah opsi (A).

Simak Pembahasan Soal Matematika IPS UN 2015 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.