Pembahasan Matematika IPS UN 2016 No. 6

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2016 bidang studi Matematika SMA-IPS nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:

persamaan kuadrat baru,
pertidaksamaan kuadrat,
model matematika persamaan linear,
aplikasi persamaan linear, dan
fungsi komposisi.

Soal No. 6 tentang Persamaan Kuadrat Baru

Misalkan p dan q adalah akar-akar persamaan x² − 4x − 3 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (p + 1) dan (q + 1) adalah ….

A.   x² − 6x − 2 = 0
B.   x² − 6x + 2 = 0
C.   x² − 2x − 2 = 0
D.   x² − 2x + 2 = 0
E.   x² + 2x − 2 = 0

Pembahasan

Dari persamaan x² − 4x − 3 = 0 diperoleh:

a = 1
b = −4
c = −3

Jumlah kedua akar persamaan kuadrat tersebut adalah:

p + q = −b/a
         = −(−4)/1
         = 4

Sedangkan perkalian kedua akarnya adalah:

p∙q = c/a
      = (−3)/1
      = −3

Misalkan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (p + 1) dan (q + 1) adalah

x² − Bx + C = 0

dengan B adalah hasil jumlah dan C adalah hasil kali kedua akar persamaan kuadrat baru tersebut.

B = (p + 1) + (q + 1)
   = p + q + 2
   = 4 + 2
   = 6

C = (p + 1)(q + 1)
    = pq + p + q + 1
    = −3 + 4 + 1
    = 2

Dengan demikian persamaan kuadrat baru tersebut adalah:

x² − Bx + C = 0
x² − 6x + 2 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (p + 1) dan (q + 1) adalah x² − 6x + 2 = 0 (B).

Soal No. 7 tentang Pertidaksamaan Kuadrat

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x − x² ≥ −15 adalah ….

A.   {x│3 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}
B.   {x│−3 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}
C.   {x│−5 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}
D.   {x│x ≤ −3 atau x ≥ 5, x ∈ R}
E.   {x│x ≤ −5 atau x ≥ 3, x ∈ R}

Pembahasan

Kita pindahkan semua suku ke ruas kiri.

2x − x² ≥ −15
−x² + 2x + 15 ≥ 0

Kemudian masing-masing suku kita kalikan (−1) agar koefisien x² bernilai positif.

x² − 2x − 15 ≤ 0

Perhatikan, tanda pertidaksamaannya berubah.

Selanjutnya, pertidaksamaan tersebut kita faktor menjadi:

(x − 5)(x + 3) ≤ 0

Karena pertidaksamaannya bertanda ≤, maka himpunan penyelesaiannya berada di antara −3 dan 5.

−3 ≤ x ≤ 5

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah {x│−3 ≤ x ≤ 5, x ∈ R} (B).

Soal No. 8 tentang Model Matematika Persamaan Linear

Harga 3 buah kue A dan 2 buah kue B adalah Rp9.000,00. Harga sebuah kue A adalah Rp600,00 lebih mahal dari harga kue B. Jika dimisalkan satu kue A = a dan harga satu kue B = b, model matematika yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah ….

A.   3a + 2b = 9.000; a + b = 600
B.   3a + 2b = 9.000; a + b = 8.400
C.   3a + 2b = 9.000; a − b = 8.400
D.   3a + 2b = 9.000; a − b = 600
E.   3a + 2b = 9.000; b − a = 600

Pembahasan

Misal:

a : harga satu kue A
b : harga satu kue B

Harga 3 buah kue A dan 2 buah kue B adalah Rp9.000,00.

3a + 2b = 9.000

Harga sebuah kue A adalah Rp600,00 lebih mahal dari harga kue B.

a = 600 + b atau
a − b = 600

Jadi, model matematika yang sesuai dengan permasalahan tersebut adalah opsi (D).

Soal No. 9 tentang Aplikasi Persamaan Linear

Pak Anto, Pak Karta, dan Pak Jodi mengunjungi tempat rekreasi yang sama. Pak Anto membeli tiket masuk tempat rekreasi sebanyak dua lembar untuk dewasa dan tiga lembar untuk anak-anak dengan harga Rp10.250,00. Pak Karta membeli tiket tiga lembar untuk dewasa dan satu lembar untuk anak-anak dengan harga Rp9.250,00. Jika Pak Jodi membeli satu tiket untuk dewasa dan satu tiket untuk anak-anak dengan menggunakan selembar uang Rp10.000,00, uang pengembalian yang diterima Pak Jodi adalah ….

A.   Rp2.500,00
B.   Rp3.750,00
C.   Rp5.000,00
D.   Rp5.750,00
E.   Rp6.000,00

Pembahasan

Kita buat permisalan terlebih dahulu.

x : tiket dewasa
y : tiket anak-anak

Model matematika untuk persamaan di atas adalah:

Pak Anto : 2x + 3y = 10.250 … (1)
Pak Karta : 3x + y = 9.250     … (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2):

2x + 3y = 10.250 |×1| 2x + 3y = 10.250
3x + y = 9.250     |×3| 9x + 3y = 27.750
                                 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −
                                7x = 17.500
                                              x = 2.500

Substitusi x = 2.500 ke persamaan (2).

         3x + y = 9.250
3×2.500 + y = 9.250
    7.500 + y = 9.250
                  y = 1.750

Pak Jodi membeli satu tiket untuk dewasa dan satu tiket untuk anak-anak.

x + y = 2.500 + 1.750
         = 4.250

Karena Pak Jodi membayar dengan uang Rp10.000,00 maka ia menerima uang pengembalian sebesar:

Uang kembali = 10.000 − 4.250
                      = 5.750

Jadi, uang pengembalian yang diterima Pak Jodi adalah Rp5.750,00 (D).

Soal No. 10 tentang Fungsi Komposisi

Diketahui fungsi f : R → R dan fungsi g : R → R dirumuskan dengan f(x) = x − 1 dan g(x) = x² + 2x − 3. Fungsi komposisi g atas f dirumuskan dengan ….

A.   (g ∘ f)(x) = x² − 4
B.   (g ∘ f)(x) = x² − 5
C.   (g ∘ f)(x) = x² − 6
D.   (g ∘ f)(x) = x² − 4x − 4
E.   (g ∘ f)(x) = x² − 4x − 5

Pembahasan

Yang menjadi acuan pada fungsi komposisi (g ∘ f)(x) adalah fungsi yang di depan, yaitu fungsi g.

    g(x) = x² + 2x − 3
g[f(x)] = [f(x)]² + 2f(x) − 3
           = (x − 1)² + 2(x − 1) − 3
           = x² − 2x + 1 + 2x − 2 − 3
           = x² − 4

Jadi, fungsi komposisi g atas f dirumuskan dengan (g ∘ f)(x) = x² − 4 (A).

Simak Pembahasan Soal Matematika IPS UN 2016 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 35
No. 16 - 20	No. 36 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

Friday, 10 February 2017