Pembahasan Matematika IPS UN 2019 No. 11 - 15

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tahun 2019 bidang studi Matematika SMA-IPS nomor 11 sampai dengan nomor 15 tentang:

• aplikasi komposisi fungsi, 
• invers fungsi, 
• fungsi kuadrat, 
• suku ke-n deret aritmetika, dan 
• jumlah n suku deret aritmetika.

Soal No. 11 tentang Aplikasi Komposisi Fungsi

Pembuatan pakaian pada suatu industri dilakukan melalui dua tahap yaitu tahap pemotongan kain menjadi pola dan dilanjutkan dengan tahap penjahitan pola menjadi pakaian. Banyak unit pola yang terbentuk bergantung pada lebar kain yang tersedia dengan mengikuti fungsi f(x) = 3/4 x + 5, sedangkan banyak pakaian yang diproduksi bergantung banyak pola yang dihasilkan dengan mengikuti fungsi g(x) = 1/2 x + 6. Jika tersedia 100 m² kain untuk membuat pola, banyak pakaian yang dihasilkan adalah ….

A.   38 pakaian
B.   41 pakaian
C.   42 pakaian
D.   46 pakaian
E.   47 pakaian

Pembahasan

Cara 1 (Tahapan Fungsi)

Banyak pola yang diperoleh dari 100 m² kain adalah:

    f(x) = 3/4 x + 5
f(100) = 3/4 × 100 + 5
           = 75 + 5
           = 80

Banyaknya pakaian yang dihasilkan dari 80 pola adalah:

  g(x) = 1/2 x + 6
g(80) = 1/2 × 80 + 6
          = 40 + 6
          = 46

Cara 2 (Komposisi Fungsi)

         g(x) = 1/2 x + 6
     g[f(x)] = 1/2 f(x) + 6
                = 1/2 (3/4 x + 5) + 6
                = 3/8 x + 5/2 + 6
                = 3/8 x + 17/2
g[f(100)] = 3/8 × 100 + 17/2
                = 37,5 + 8,5
                = 46

Jadi, banyak pakaian yang dihasilkan adalah 46 pakaian (D).

Soal No. 12 tentang Invers Fungsi

Diketahui

adalah invers dari f(x). Nilai dari f⁻¹(10) adalah ….

A.   −16
B.   −3
C.   −2
D.   2
E.   12

Pembahasan

Invers fungsi dalam bentuk pecahan linear dirumuskan sebagai:

Berpedoman pada rumus di atas maka:

Jadi, nilai dari  f⁻¹(10) adalah −3 (B).

Soal No. 13 tentang Fungsi Kuadrat

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar di bawah ini adalah ….

A.   y = 2x² − x − 6
B.   y = 2x² + x − 6
C.   y = x² − 2x − 6
D.   y = x² + 2x − 6
E.   y = x² − 4x − 6

Pembahasan

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik puncak (p, q) dirumuskan sebagai:

y = a(x − p)² + q

Dengan titik puncak (1, −7) diperoleh:

y = a(x − 1)² − 7 … (1)

Grafik tersebut melalui titik (0, −6). Kita substitusikan titik tersebut ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a. Diperoleh:

−6 = a(0 − 1)² − 7
−6 = a − 7
   a = 1

Nah, kita substitusi a = 1 ke persamaan (1) untuk mendapatkan persamaan fungsinya.

y = 1(x − 1)² − 7
   = x² − 2x + 1 − 7
   = x² − 2x − 6

Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar di atas adalah y = x² − 2x − 6 (C).

Soal No. 14 tentang Suku ke-n Deret Aritmetika

Suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah 33, sedangkan suku ke-7 adalah 54. Suku ke-15 barisan tersebut adalah ….

A.   162
B.   118
C.   110
D.   92
E.   70

Pembahasan

Cara 1

Diketahui:

U₄ = 33
U₇ = 54

Suku ke-n deret aritmetika dinyatakan sebagai:

U_n = a + (n − 1)b

Berdasarkan rumus di atas, maka:

U₄ = a + 3b = 33
U₇ = a + 6b = 54
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  −
             −3b = −21
                  b = 7

Substitusi b = 7 ke U₄ untuk mendapatkan nilai a.

a + 3×7 = 33
  a + 21 = 33
           a = 12

Dengan demikian,

U₁₅ = a + 14b
       = 12 + 14×7
       = 12 + 98
       = 10

Cara 2

Diketahui:

U₄ = 33
U₇ = 54

(7 − 4)b = 54 − 33
         3b = 21
           b = 7

Suku ke-n deret aritmetika juga bisa dirumuskan:

U_n = U_k + (n − k)b

U_k bisa menggunakan U₄ atau U₇.

U₁₅ = U₄ + (15 − 4)b
       = 33 + 11×7
       = 33 + 77
       = 110

Jadi, Suku ke-15 barisan tersebut adalah 110 (C).

Soal No. 15 tentang Jumlah n Suku Deret Aritmetika

Suku kelima suatu barisan aritmetika adalah 28 dan suku kesepuluhnya adalah 53. Jumlah 18 suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah ….

A.   816
B.   819
C.   826
D.   909
E.   919

Pembahasan

Diketahui:

U₅ = 28
U₁₀ = 53

Dengan cara seperti pembahasan no. 14, diperoleh:

 U₅ = a + 4b = 28
U₁₀ = a + 9b = 53
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  −
               −5b = −25
                   b = 5

Substitusi b = 5 ke U₅ untuk mendapatkan nilai a.

a + 4×5 = 28
   a + 20 = 28
           a = 8

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dirumuskan:

 S_n = 1/2 n[2a + (n − 1)b]
S₁₈ = 1/2×18(2×8 + 17×5)
      = 9(16 + 85)
      = 9×101
      = 909

Jadi, jumlah 18 suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah 909 (D).

Simak Pembahasan Soal Matematika IPS UN 2019 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 36
No. 16 - 20	No. 37 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.