Pembahasan Matematika IPS UN 2019 No. 6 - 10

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tahun 2019 bidang studi Matematika SMA-IPS nomor 6 sampai dengan nomor 10 tentang:

• sistem pertidaksamaan linear, 
• program linear, 
• fungsi, 
• komposisi fungsi, dan 
• daerah asal komposisi fungsi.

Soal No. 6 tentang Sistem Pertidaksamaan Linear

Daerah yang diarsir pada grafik berikut adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.

Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 6x + 10y adalah ….

A.   46
B.   40
C.   34
D.   30
E.   24

Pembahasan

Karena koefisien x dan y pada fungsi objektif mempunyai nilai yang hampir sama besar, nilai maksimum fungsi objektif tersebut terletak pada titik potong kedua garis.

Garis yang melalui titik (0, 5) dan (5, 0).

5x + 5y = 5 × 5
    x + y = 5      … (1)

Garis yang melalui titik (0, 2) dan (−1, 0).

2x − y = 2×(−1)
2x − y = −2      … (2)

Titik potong kedua garis dapat dicari dengan melakukan eliminasi persamaan (1) dan (2).

  x + y = 5
2x − y = −2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯  +
      3x = 3
        x = 1

Eliminasi x = 1 ke persamaan (1) diperoleh:

1 + y = 5
      y = 4

Dengan demikian, nilai maksimum tercapai saat x = 1 dan y = 4.

f(x, y) = 6x + 10y
f(1, 4) = 6×1+10×4
           = 6 + 40
           = 46

Jadi, nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 6x + 10y adalah 46 (A).

Soal No. 7 tentang Program Linear

Seorang pengusaha perumahan mempunyai lahan tanah seluas 10.000 m² yang akan dibangun rumah tipe I dan tipe II. Rumah tipe I memerlukan tahan seluas 100 m² dan rumah tipe II memerlukan tanah seluas 75 m². Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Rumah tipe I dijual dengan harga Rp250.000.000,00 per unit dan rumah tipe II dijual dengan harga Rp200.000.000,00 per unit. Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh pengusaha perumahan tersebut adalah ….

A.   Rp25.000.000.000,00
B.   Rp26.250.000.000,00
C.   Rp26.600.000.000,00
D.   Rp26.670.000.000,00
E.   Rp31.250.000.000,00

Pembahasan

Tabel bantuan untuk soal di atas adalah:

Berdasarkan tabel di atas, diperoleh persamaan:

x + y = 125     … (1)
4x + 3y = 400 … (2)
f(x, y) = 250.000.000x + 200.000.000y

Eliminasi persamaan (1) dan (2).

Substitusi y = 100 ke persamaan (1) diperoleh:

x + 100 = 125
          x = 25

Dengan demikian, nilai fungsi objektifnya adalah:

Jadi, penghasilan maksimum yang dapat diperoleh pengusaha perumahan tersebut adalah Rp26.250.000.000,00 (B).

Soal No. 8 tentang Fungsi

Daerah hasil fungsi y = x² − 2x − 3 untuk daerah asal {x│−1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R} adalah ….

A.   {y│−4 ≤ y ≤ 0, y ∈ R}
B.   {y│−4 ≤ y ≤ 11, y ∈ R}
C.   {y│−4 ≤ y ≤ 5, y ∈ R}
D.   {y│0 ≤ y ≤ 5, y ∈ R}
E.   {y│0 ≤ y ≤ 11, y ∈ R}

Pembahasan

Untuk menentukan daerah hasil, cukup dengan memasukkan batas daerah asal dan sumbu simetri ke persamaan fungsi y.

Sumbu simetri fungsi y = x² − 2x − 3 adalah:

x = −b/2a
   = −(−2)/(2×1)
   = 1

Sedangkan batas daerah asalnya adalah:

−1 ≤ x ≤ 4

Nah, sekarang kita substitusikan x = 1, x = −1, dan x = 4 ke fungsi y = f(x).

  f(x) = x² − 2x − 3
  f(1) = 1² − 2×1 − 3 = −4 [minimum]
f(−1) = (−1)² − 2×(−1) − 3 = 0
  f(4) = 4² − 2×4 − 3 = 5 [maksimum]

Berdasarkan hasil substitusi di atas, nilai terendahnya adalah −4 dan tertingginya adalah 5. Dengan demikian, daerah hasilnya adalah:

−4 ≤ y ≤ 5

Jadi, daerah hasil fungsi tersebut adalah opsi (C).

Soal No. 9 tentang Komposisi Fungsi

Diketahui f(x) = x² + x + 1 dan g(x) = 2x − 3. Fungsi komposisi (f ∘ g)(x) adalah ….

A.   4x² − 14x + 7
B.   4x² − 10x + 7
C.   4x² − 10x + 5
D.   4x² + 2x − 11
E.   4x² + 2x + 7

Pembahasan

Fungsi komposisi (f ∘ g)(x) bisa ditulis f[g(x)] yang berarti fungsi g(x) dimasukkan ke fungsi f(x).

    f(x) = x² + x + 1
f[g(x)] = g²(x) + g(x)  +1
           = (2x − 3)² + (2x − 3 )+ 1
           = 4x² − 12x + 9 + 2x − 3 + 1
           = 4x² − 10x + 7

Jadi, fungsi komposisi (f ∘ g)(x) adalah opsi (B).

Soal No. 10 tentang Daerah Asal Komposisi Fungsi

Diketahui fungsi

Daerah asal fungsi komposisi (g∘f)(x) adalah ….

A.   {x│x ≠ −1/6, x ∈ R}
B.   {x│x ≠ −1/2, x ∈ R}
C.   {x│x ≠ 1/6, x ∈ R}
D.   {x│x ≠ 2/3, x ∈ R}
E.   {x│x ∈ R}

Pembahasan

Komposisi fungsi (g ∘ f)(x) = g[f(x)].

Ternyata fungsi g[f(x)] berbentuk pecahan. Agar memenuhi syarat daerah asal, penyebut pecahan tersebut tidak boleh sama dengan nol.

6x + 1 ≠ 0
      6x ≠ −1
        x ≠ −1/6

Jadi, daerah asal fungsi komposisi (g ∘ f)(x) adalah opsi (A).

Simak Pembahasan Soal Matematika IPS UN 2019 selengkapnya.

No. 01 - 05	No. 21 - 25
No. 06 - 10	No. 26 - 30
No. 11 - 15	No. 31 - 36
No. 16 - 20	No. 37 - 40

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.