Pembahasan Matematika No. 1 - 5 TKD Saintek SBMPTN 2014 Kode Naskah 512

Pembahasan soal Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2014 kode naskah 512 subtes Matematika nomor 1 sampai dengan nomor 5 tentang:

• barisan dan deret, 
• vektor, 
• suku banyak, 
• matriks, serta 
• pertidaksamaan logaritma.

Soal No. 1 tentang Barisan dan Deret

Agar 1, a², dan −2a²√2 masing-masing merupakan suku ke-3, suku ke-5, dan suku ke-8 suatu barisan geometri maka rasio barisan tersebut adalah ….

A.   −2
B.   −√2
C.   2
D.   2√2
E.   4

Pembahasan

Rasio deret geometri bisa kita dapatkan dengan membandingkan suku-suku yang diketahui. Kita pilih suku ke-5 dan ke-8 karena keduanya mengandung a² sehingga jika dibandingkan nilai a² akan saling meniadakan. 

    U_n = arⁿ⁻¹ 

  
       r³ = −2^3/2
 (r³)^1/3 = −(2^3/2)^1/3
         r = −2^1/2
            = −√2

Jadi, rasio barisan tersebut adalah −√2 (B).

Soal No. 2 tentang Vektor

Vektor-vektor u, v, dan w  tak nol dan |u| = |v|. Jika |v − w| = |u − w| maka ….

A.   u ∙ v = |w|
B.   w = (2u + 3v)/5
C.   |u − w| = |v|
D.   u − v tegak lurus w
E.   u + v tegak lurus w

Pembahasan

Persamaan dalam bentuk harga mutlak akan lebih mudah dikerjakan jika dilakukan pengkuadratan kedua ruas.

              |v − w|² = |u − w|²
|v|² − 2vw + |w|² = |u|² − 2uw + |w|²
 
Karena |u| = |v| maka persamaan tersebut menjadi:

       −2vw = −2uw
            vw = uw
              0 = uw − vw
   uw − vw = 0
(u − v) . w = 0 

Persamaan yang terakhir ini berarti perkalian dot antara vektor (u − v) dan vektor w menghasilkan nol. Sedangkan dua vektor yang dikalikan menghasilkan nol berarti kedua vektor tersebut saling tegak lurus. Dengan demikian, 

u − v tegak lurus w
 
Jadi, pernyataan yang benar adalah opsi (D).

Soal No. 3 tentang Suku Banyak

Banyak akar real f(t) = t⁹ − t adalah ….

A.   2
B.   3
C.   4
D.   6
E.   9

Pembahasan

Banyaknya akar suku banyak berderajat 9 adalah 9. Tetapi, kesembilan akar tersebut belum tentu semuanya akar real. Mungkin terdapat akar imajiner.

Akar real terjadi saat suatu fungsi bernilai nol.

        f(t) = 0
     t⁹ − t = 0 
t(t⁸ − 1) = 0 
t = 0 atau t⁸ − 1 = 0
                      t⁸ = 1
                        t = ±1

Sehingga akar-akar realnya adalah −1, 0, dan 1.

Jadi, banyak akar real dari adalah 3 (B).

Soal No. 4 tentang Matriks

Jika A adalah matriks berukuran 2 × 2 dan

maka matriks A yang mungkin adalah ….

Pembahasan

Kita misalkan,

Sehingga persamaan matriks di atas menjadi:


              (ax + b)x + cx + d = x² − 5x + 8
              ax² + (b + c)x + d = x² − 5x + 8
 
Dengan membandingkan bentuk kuadrat ruas kiri dan kanan diperoleh: 

a = 1 
b + c = −5 
d = 8

Untuk sementara, matriks A adalah:

Dengan matriks A sementara ini, opsi jawaban yang mungkin adalah opsi D dan E. Sedangkan yang memenuhi b + c = −5 adalah opsi D.

Jadi, matriks A yang mungkin adalah opsi (D).

Soal No. 5 tentang Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian pertidaksamaan 

^(1−|x|)log ⁡(3x − 1) < 1

adalah ….

A.   ⅓ < x < ½
B.   ⅓ < x < ⅔
C.   ⅓ < x < 1
D.   ½ < x < ⅔
E.   ½ < x < 1

Pembahasan

Sebelum menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, kita perhatikan dulu syarat-syarat yang berlaku.

• Bilangan pokok harus positif tetapi tidak boleh 1.

1 − |x| > 0
    −|x| > −1
      |x| < 1   
−1 < x < 1   ... (1)

1 − |x| ≠ 1
    −|x| ≠ 0
      |x| ≠ 0     ... (2)

• Bilangan logaritma harus positif.

3x − 1 > 0
      3x > 1
        x > ⅓    ... (3)

Sekarang kita selesaikan pertidaksamaan logaritma di atas. 

^(1−|x|)log ⁡(3x − 1) < 1 
^(1−|x|)log ⁡(3x − 1) < ^(1−|x|)log ⁡(1 − |x|)

Karena bilangan pokoknya antara 0 dan 1 maka tanda pertidaksamaan harus dibalik.

3x − 1 > 1 − |x|
       |x| > −3x + 2 
      |x|² > (−3x + 2)² 
       x² > 9x² − 12x + 4
−8x² + 12x − 4 > 0
    2x² − 3x + 1 < 0
(2x − 1)(x − 1) < 0

Pembuat nol pertidaksamaan tersebut adalah:

2x − 1 = 0
       2x = 1
         x = ½ 

x − 1 = 0
       x = 1

Karena koefisien dari x² berharga positif maka tanda "<" berarti penyelesaian pertidaksamaan tersebut berada di antara pembuat nol.

½ < x < 1

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma ini telah memenuhi syarat logaritma (1), (2), dan (3) sehingga tidak perlu dibuat garis bilangan untuk mencari irisan penyelesaiannya.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah ½ < x < 1 (E).

Simak Pembahasan Soal TKD Saintek SBMPTN 2014 selengkapnya.

No. 01 - 05 (Mat)	No. 31 - 35 (Kim)
No. 06 - 10 (Mat)	No. 36 - 40 (Kim)
No. 11 - 15 (Mat)	No. 41 - 45 (Kim)
No. 16 - 20 (Fis)	No. 46 - 50 (Bio)
No. 21 - 25 (Fis)	No. 51 - 55 (Bio)
No. 26 - 30 (Fis)	No. 56 - 60 (Bio)

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.