Pembahasan Matematika No. 11 - 15 TKD Saintek SBMPTN 2014 Kode Naskah 512

Pembahasan soal Tes Kemampuan Dasar Sains dan Teknologi (TKD Saintek) Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) tahun 2014 kode naskah 512 subtes Fisika nomor 11 sampai dengan nomor 15 tentang:

• trigonometri, 
• dimensi tiga, 
• suku banyak, 
• integral, serta 
• permutasi dan kombinasi.

Soal No. 11 tentang Trigonometri

Bila sin 𝑥 + cos 𝑥 = 𝑎 maka sin⁴ 𝑥 + cos⁴ 𝑥 = ….

A.   1 − (𝑎² − 1)²
B.   1 − 2(𝑎² − 1)²
C.   1 + 2(𝑎² − 1)²
D.   1 − ½(𝑎² − 1)²
E.   1 + ½(𝑎² − 1)²

Pembahasan

Kedua ruas pada data yang diketahui kita kuadratkan terlebih dahulu.

                       (sin 𝑥 + cos 𝑥)² = 𝑎²
sin² 𝑥 + cos² 𝑥 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 𝑎²
                     1 + 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 𝑎² 
                           2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 𝑎² − 1
                              sin 𝑥 cos 𝑥 = ½(𝑎² − 1)   ...(1)

Selanjutnya, kita langsung bisa masuk ke pertanyaan:

    sin⁴𝑥 + cos⁴𝑥
= (sin²𝑥)² + (cos²𝑥)²
= (sin²𝑥 + cos²𝑥)² − 2 sin² 𝑥 cos² 𝑥
= 1² − 2 sin² 𝑥 cos² 𝑥
= 1 − 2[½(𝑎² − 1]²  
= 1 − 2 . ¼(𝑎² − 1]²
= 1 − ½(𝑎² − 1)²
 
Jadi, nilai dari  sin⁴ 𝑥 + cos⁴ 𝑥 adalah 1 − ½(𝑎² − 1)² (D).

Soal No 12 tentang Dimensi Tiga

Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik P, Q, R dan S masing-masing pada AB, BC, CD, dan AD sehingga BP = CR = ⅓ AB dan QC = DS = ⅓ AD. Volume limas E.PQRS adalah … volume kubus.

A.   ⅙
B.   ¼
C.   ⅓
D.   ⅔
E.   ½

Pembahasan

Perhatikan gambar ilustrasi untuk soal di atas!

Anggap panjang sisi kubus tersebut adalah a. Volume kubus ABCD.EFGH (V_k) adalah: 

V_k = s³
     = a³
 
Luas alas PQRS (L_a) adalah: 

L_a = ½ × d₁ × d₂
     = ½ × PS × QR
     = ½ × a × a
     = ½𝑎²

Volume limas T.PQRS (V_l) adalah: 

V_l = ⅓ × L_a × t
    = ⅓ × ½𝑎² × a
    = ⅙ 𝑎³
    = ⅙ V_k 

Jadi, volume limas E.PQRS adalah ⅙ volume kubus ABC.EFGH (A).

Soal No. 13 tentang Suku Banyak

Diketahui 𝑃(𝑥) suatu polinomial. Jika 𝑃(𝑥 + 1) dan 𝑃(𝑥 − 1) masing-masing memberikan sisa 2 apabila masing-masing dibagi 𝑥 − 1 maka 𝑃(𝑥) dibagi 𝑥² − 2𝑥 memberikan sisa ….

A.   𝑥 + 2
B.   2𝑥
C.   𝑥
D.   1
E.   2

Pembahasan

Menurut teorema sisa:

"Jika suku banyak f(x) dibagi x − a maka sisanya adalah f(a)".

Berdasarkan teorema sisa tersebut, jika suku banyak 𝑃(𝑥 + 1) dan 𝑃(𝑥 − 1) dibagi 𝑥 − 1 bersisa 2 maka untuk x = 1 pada 𝑃(𝑥 + 1) dan 𝑃(𝑥 − 1) akan menghasilkan 2.

𝑃(1 + 1) = 2
      𝑃(2) = 2    ...(1)

𝑃(1 − 1) = 2
      𝑃(0) = 2    ... (2)

Nah, jika 𝑃(𝑥) dibagi 𝑥² − 2𝑥 sisanya adalah ax + b (pembagi berderajat 2, sisa berderajat 1). Sedangkan pembaginya dapat difaktorkan menjadi:

𝑥² − 2𝑥 = x(x − 2)
             = (x − 0)(x − 2)

Karena x − 0 dan x − 2 faktor dari 𝑥² − 2𝑥, maka: 

P(x) dibagi x − 0 bersisa ax + b

P(0) = a.0 + b
     2 = b
     b = 2

P(x) dibagi x − 2 bersisa ax + b

P(2) = a.2 + b
     2 = 2a + 2
   2a = 0
     a = 0

Dengan demikian, sisa pembagian suku banyak tersebut adalah: 

ax + b = 0.x + 2
           = 2

Jadi, sisa pembagian suku banyak P(x) oleh 𝑥² − 2𝑥 adalah 2 (E).

Soal No. 14 tentang Integral

Misalkan 𝐴(𝑡) menyatakan luas daerah di bawah kurva 𝑦 = 𝑏𝑥², 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡.

Jika titik P(x_o, 0) sehingga A(x_o) ∶ A(1) = 1 ∶ 8 maka perbandingan luas trapesium ABPQ : DCPQ = ….

A.   2 : 1
B.   3 : 1
C.   6 : 1
D.   8 : 1
E.   9 : 1

Pembahasan

𝐴(𝑡) menyatakan luas daerah di bawah kurva 𝑦 = 𝑏𝑥², 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑡. Berarti:

  𝐴(𝑡) = _o∫^t 𝑏𝑥² dx
𝐴(x_o) = _o∫^x_o 𝑏𝑥² dx
  𝐴(1) = _o∫¹ 𝑏𝑥² dx
 
Selanjutnya kita tentukan nilai x_o. 

A(x_o) ∶ A(1) = 1 ∶ 8

Perhatian gambar trapesium ABPQ : DCPQ berikut ini!

Perbandingan luas trapesium ABPQ dan DCPQ adalah:


             = 3/1

Jadi, perbandingan luas trapesium ABPQ dan DCPQ adalah 3 : 1 (B).

Soal No. 15 tentang Permutasi dan Kombinasi

Sebuah toko makanan menyediakan es krim dengan 6 rasa berbeda. Banyak cara seorang pembeli dapat memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda adalah ….

A.   6
B.   20
C.   22
D.   40
E.   120

Pembahasan

Dari 6 rasa es krim yang tersedia, dibeli 5 es krim dengan 3 rasa berbeda. Kemungkinannya adalah:

3 es krim rasa berbeda dan 2 es krim rasa sama: 

₆C₃ . ₃C₁ = 20 × 3
               = 60

3 es krim rasa berbeda dan 2 es krim rasa berbeda: 

₆C₃ . ₃C₂ = 20 × 3
               = 60

Banyak semua kemungkinan memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda adalah:

60 + 60 = 120

Jadi, banyak cara seorang pembeli dapat memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda adalah 120 cara (E).

Simak Pembahasan Soal TKD Saintek SBMPTN 2014 selengkapnya.

No. 01 - 05 (Mat)	No. 31 - 35 (Kim)
No. 06 - 10 (Mat)	No. 36 - 40 (Kim)
No. 11 - 15 (Mat)	No. 41 - 45 (Kim)
No. 16 - 20 (Fis)	No. 46 - 50 (Bio)
No. 21 - 25 (Fis)	No. 51 - 55 (Bio)
No. 26 - 30 (Fis)	No. 56 - 60 (Bio)

Simak juga:
Pembahasan Matematika SBMPTN 2015
Pembahasan Matematika SBMPTN 2016
Pembahasan Matematika SBMPTN 2017
Pembahasan Matematika SBMPTN 2018
Pembahasan Matematika UTBK SBMPTN 2019

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.